Периметърът на трапеца АВСD e 41. АВ=18, СD=8. AC=12. AD=?

[Гост]

Периметърът на трапеца АВСD e 41. АВ=18, СD=8. AC=12. AD=? BC=?

[Knowledge Greedy]

В трапец има винаги 5-6 стандартни ситуации с дострояване. Конкретно - построяваме [tex]CE||DA[/tex].

Адът над Хирошима 6 август 1945.png (3.93 KiB) Прегледано 197 пъти

Получава се един успоредник, с помощта на който установяваме връзка между страните на новополучения [tex]\Delta BCE[/tex].
Сега съставяме системата
[tex]\begin{array}{|l} 18+a+8+b =41 \\ cos \beta = \frac{a^2+10^2-b^2}{2.10.a}= \frac{a^2+18^2-12^2}{2.18.a} \end{array}[/tex]

Първото уравнение е от условието за периметъра.
Във второто уравнение сме направили изразяване на косинуса на [tex]\angle ABC[/tex] (означен с [tex]\beta[/tex]) по два начина.
Единия път от равенството на косинусова теорема за [tex]\Delta EBC[/tex]
и втори път от - равенството на косинусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex].
Така излишният [tex]cos \beta[/tex] е изключен, системата добива вида

[tex]\begin{array}{|l} 18+a+8+b =41 \\ \frac{a^2+10^2-b^2}{2.10.a}= \frac{a^2+18^2-12^2}{2.18.a} \end{array}[/tex]

а с малко преобразувания и вида [tex]\begin{array}{|l} a+b =15 \\ 4a^2-9b^2=0 \end{array}[/tex].
Отговор [tex]\begin{array}{|l} a=9 \\ b=6 \end{array}[/tex]