ДОПИРАТЕЛНИ КЪМ ОКРЪЖНОСТ

[yoyo]

МОЛЯ ВИ, МНОГО СПЕШНО МИ ТРЯБВАТ, НЕ МОГА САМА ДА СЕ СПРАВЯ

1. Сборът от бедрата AD и BC на трапеца ABCD е равен на сбора от основите му. Докажете, че окръжностите с диаметри AD и BC са външно допирателни.

2. В окръжността k (O; r) e прекарана хорда AB=r. Допирателните към k през точките A и B се пресичат в C, която е на разстояние 2 от AB. Намерете OC.

[ева]

АВ=а;CD=b
по условие AD+BC=AB+CD
2[tex]r_{1 }[/tex]+2[tex]r_{2 }[/tex]=a+b
[tex]r_{1 }[/tex]+[tex]r_{2 }[/tex]=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex] (1)
т.[tex]О_{1 }[/tex],т.[tex]О_{2 }[/tex] са среди на AD ,BC[tex]\Rightarrow[/tex][tex]O_{1 }[/tex][tex]O_{2 }[/tex] e средна отс.в трапеца
[tex]О_{1 }[/tex][tex]О_{2 }[/tex]=[tex]\frac{a+b}{2 }[/tex] (2)
от (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex][tex]О_{1 }[/tex][tex]О_{2 }[/tex]=[tex]r_{1 }[/tex]+[tex]r_{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]окр.са външно допирателни

[ева]

2 зад.
нека т.Н е среда на АВ;СН е и височина и медиана в [tex]равноб._{\triangle }[/tex]АВС;СН=2
AB=r;AO=BO=r[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\triangle[/tex]ABO е равностранен[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]АОВ=60[tex]^\circ[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]малката дъга АВ=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] голямата дъга АВ=300[tex]^\circ[/tex]
външния [tex]\angle[/tex]АСВ=[tex]\frac{голяма. д.АВ-малка. д.АВ}{2}[/tex]=[tex]\frac{300^\circ-60^\circ}{2}[/tex]=120[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АВС-равноб.[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\frac{180^\circ-120^\circ}{2}[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АСН-правоъг.с [tex]\angle[/tex]30[tex]^\circ[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]СН=[tex]\frac{АС}{2}[/tex];2=[tex]\frac{АС}{2}[/tex];АС=4
ОН е и височина и ъглополовяща [tex]в_{\triangle }[/tex]АВО[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]АОН=[tex]\angle[/tex]АОС=30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АСО-правоъг.с[tex]\angle[/tex]30[tex]^\circ[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]АС=[tex]\frac{ОС}{2}[/tex];4=[tex]\frac{ОС}{2}[/tex];ОС=8
отг.8