Средна отсечка в трапец

[Гост]

Даден е трапец ABCD (AB ll CD) с диагонали АС и BD. Точките P и Q са средите съответно на AC и BD.
а) Да се докаже, че отсечката PQ е успоредна на AB.
б) Да се докаже, че точките P и Q са точки от средната отсечка на трапеца.
г) Ако трапецът е равнобедрен и DD1[tex]\bot[/tex] AB (D1 z AB), докажете, че AD1= PQ.

[Nathi123]

a) Построяваме права р през точка Р // АВ . Нека р пресича ВС в т. L. [tex]\Rightarrow CL = LB , p\cap BD = Q_{1 }, p//AB, AB//CD \Rightarrow p// CD[/tex] От L среда на ВС и р // CD [tex]\Rightarrow Q_{1 }[/tex] е среда на BD,но по условие Q e среда на BD [tex]\Rightarrow Q_{1 } \equiv Q[/tex]
[tex]\Rightarrow PQ//AB.[/tex]
б) От доказаното в а) [tex]\Rightarrow P,Q,L \in p[/tex] и CL = BL ,Нека [tex]p\cap AD =R \Rightarrow DR = AR \Rightarrow LR[/tex] e средна отсечка в трапеца , а от там [tex]\Rightarrow[/tex] P и Q [tex]\in[/tex] средната отс. на трапеца.
в) Ако AD = BC и при въведените означения в а) и б) условие [tex]\Rightarrow AD_{1 } = \frac{1}{2}( AB - CD ), RL = \frac{1}{2}( AB + CD )[/tex] ( средна отсечка в трапец). [tex]QL = PR = \frac{1}{2}CD[/tex] ( средни отсечки съотв. в триъг. DCB и триъг. DCA )
[tex]\Rightarrow PQ = LR - 2QP=\frac{1}{2}( AB - CD )\Rightarrow PQ = AD_{1 }[/tex]