Триъгълник ABC е вписан в окръжност и ъгъл BAC=20 , а ъгъл A

[Гост]

1. Триъгълник ABC е вписан в окръжност и ъгъл BAC=20 , а ъгъл ACB=30 . Точка К е вътрешна за триъгълника и ъгъл KCA=KAC=10. Да се намери ъгъл BKC

[SavaS]

Триъгълник ABC е вписан в окръжност и ъгъл BAC=20 , а ъгъл ACB=30. Точка К е вътрешна за триъгълника и ъгъл KCA=KAC=10. Да се намери ъгъл BKC

Mat1.png (44.27 KiB) Прегледано 428 пъти

Според синусовата теорема за [tex]\Delta[/tex]ABC: [tex]\frac{AB}{sin30^\circ}=2R \rightarrow AB=\frac{1}{2}2R \rightarrow AB=R[/tex]
[tex]AB=OB=OA=R[/tex]
[tex]\Delta[/tex]AOB е равностранен, значи ъглите му са по [tex]60^\circ[/tex] -означаваме ги на чертежа.
После:[tex]\angle[/tex]BOC=2[tex]\angle[/tex]BAC=2.20[tex]^\circ[/tex]=40[tex]^\circ[/tex], понеже централният [tex]\angle[/tex]BOC е съответен на вписания [tex]\angle[/tex]BAC (вж. дъгата BC) - означаваме го на чертежа.
[tex]\angle[/tex]AOC=100[tex]^\circ[/tex], а [tex]\angle[/tex]AOL=[tex]\angle[/tex]COL=50[tex]^\circ[/tex], защото [tex]\Delta[/tex]AOC е равностранен. Тогава [tex]\angle[/tex]KOB=50[tex]^\circ[/tex]-40[tex]^\circ[/tex]=10[tex]^\circ[/tex].
[tex]\Delta[/tex]ABK[tex]\cong[/tex][tex]\Delta[/tex]OBK, защото страните им са равни:
1. AK=KO като страни от равнобедрения [tex]\Delta[/tex]AKO
2. AB=BO=R
3. KB - обща страна.
И щом са еднакви, [tex]\angle[/tex]ABK=[tex]\angle[/tex]OBK=60[tex]^\circ[/tex]/2=30[tex]^\circ[/tex] (вж. чертежа) - означаваме [tex]\angle[/tex]ABK=30[tex]^\circ[/tex] на чертежа.
За равностранния [tex]\Delta[/tex]BOC се вижда, че [tex]\angle[/tex]BCO=70[tex]^\circ[/tex], значи и [tex]\angle[/tex]CBO=70[tex]^\circ[/tex].
[tex]\angle[/tex]KBC=100[tex]^\circ[/tex] и от [tex]\Delta[/tex]KBC намираме, че [tex]\angle[/tex]BKC=180[tex]^\circ[/tex]-100[tex]^\circ[/tex]-20[tex]^\circ[/tex]=60[tex]^\circ[/tex].
[tex]\angle[/tex]BKC=60[tex]^\circ[/tex].

[SavaS]

Сега, понеже разбрах, че не трябва да се използва синусовата теорема, решението може да стане по следния начин:

[tex]\angle[/tex]BOC=2[tex]\angle[/tex]BAC=2.20[tex]^\circ[/tex]=40[tex]^\circ[/tex], понеже централният [tex]\angle[/tex]BOC е съответен на вписания [tex]\angle[/tex]BAC (вж. дъгата BC) - означаваме го на чертежа.
[tex]\angle[/tex]CBO=70[tex]^\circ[/tex] - от равностранния [tex]\Delta[/tex]BOC
[tex]\angle[/tex]ABO=[tex]\angle[/tex]ABC-[tex]\angle[/tex]CBO=130[tex]^\circ[/tex]-70[tex]^\circ[/tex]=60[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BAO=60[tex]^\circ[/tex] - от равнобедрения [tex]\Delta[/tex]AOB, но тогава и [tex]\angle[/tex]AOB=60[tex]^\circ[/tex] и значи [tex]\Delta[/tex]AOB е равностранен.
[tex]\angle[/tex]KOB=10[tex]^\circ[/tex]
[tex]\Delta[/tex]ABK[tex]\cong[/tex][tex]\Delta[/tex]OBK, защото страните им са равни:
1. AK=KO като страни от равнобедрения [tex]\Delta[/tex]AKO -----( [tex]\angle[/tex]KAO=[tex]\angle[/tex]AOK=50[tex]^\circ[/tex]).
2. AB=BO - от равностранния [tex]\Delta[/tex]AOB
3. KB - обща страна.
И щом [tex]\Delta[/tex]ABK[tex]\cong[/tex][tex]\Delta[/tex]OBK са еднакви, [tex]\angle[/tex]ABK=[tex]\angle[/tex]OBK=60[tex]^\circ[/tex]/2=30[tex]^\circ[/tex] (вж. чертежа) - означаваме [tex]\angle[/tex]KBO=30[tex]^\circ[/tex] на чертежа.
[tex]\angle[/tex]KBC=100[tex]^\circ[/tex] и от [tex]\Delta[/tex]KBC намираме, че [tex]\angle[/tex]BKC=180[tex]^\circ[/tex]-100[tex]^\circ[/tex]-20[tex]^\circ[/tex]=60[tex]^\circ[/tex].
[tex]\angle[/tex]BKC=60[tex]^\circ[/tex].