Продължат височините на даден триъгълник до пресичането им

[Гост]

1.Да се продължат височините на даден триъгълник до пресичането им с описаната около него окръжност. Да се докаже , че ъглополовящите на триъгълника с върхове получените пресечени точки са височини на дадения триъгълник.
2. Върху хипотенузата AB на правоъгълен триъгълник ABC са взети точки Д и Е такива, че АД=АС и ВЕ=ВС. Да се докаже, че дължината на отсечка ДЕ е равна на дължината на диаметъра на вписаната в триъгълник АВС окръжност

[Davids]

1. Зад:
Чертеж:

Chertej.png (19.02 KiB) Прегледано 223 пъти

Ще говоря направо по чертежа и подобия няма да включвам, тъй като си осми клас. Пропуснах там да отбележа само, че ортоцентъра(пресечната точка на височините) ще го бележим с G.
[tex]\angle CAN = \angle PBC = 90^\circ - \angle C[/tex] (от [tex]\Delta AA{1}C[/tex] и [tex]\Delta BB_{1}C[/tex])
[tex]\Rightarrow \overline{PC} = \overline{CN}[/tex] (дъги срещу равни вписани ъгли)
[tex]\Rightarrow \angle PMC = \angle CMN[/tex] (вписани ъгли срещу равни дъги)
[tex]\Rightarrow[/tex] правата [tex]CC_{1}[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle PMN[/tex]
Аналогично е доказателството и за другите два ъгъла.

2. Зад:
От формулата за радиус на вписана окръжност в правоъгълен триъгълник [tex]r = \frac{a + b - c}{2}[/tex] (ако не сте я учили, може да видиш как се извежда - лесно е) следва, че [tex]d = a + b - c[/tex].
Сега разглеждаме отсечката DE.
[tex]DE = c - AE - DB[/tex]
но [tex]AE = c - BE = c - b
и [tex]DB = c - AD = c - a[/tex]
[tex]\Rightarrow DE = c - (c - b) - (c - a) = c - c + b - c + a = a + b - c[/tex]
[tex]\Rightarrow DE = d[/tex]