Ъгъл образуван от 2 пресичащи се окръжности

[Гост]

Дадени са две различни по радиус окръжности(ще ги наричам к1 и к2) . Те се пресичат в точките B и A. През точка А първо е прекарана допирателна към к1, която пресича к2 в точка X, а после пак през точка А е прекарана допирателна към к2, която пресича к1 в точка Y. Построена е и описаната около триъгълник ХУА окръжност с център O. Да се намери <OBA.



на прикаченият чертеж по-малката окръжност е к2, а по-голямата е к1

[Davids]

Като за начало на решението бих искал да обособя следното свойство на пресичащи се окръжности [tex]k_{1}[/tex] и [tex]k_{2}[/tex] като свойството X, и така ще го наричам в решението:

svoistvo.png (7.55 KiB) Прегледано 824 пъти

Става въпрос за това, че ъгълът между отсечката, свързваща двата радиуса, и отсечката между двете пресечни точки винаги е прав и отсечката между пресечните точки е разполовена. (Ако са нужни допълнителни обяснения по това свойство, мога да допълня, но мисля, че е ясно.)

--

Започваме!
Цялостен чертеж:

OsmiKlas.jpg (102.17 KiB) Прегледано 824 пъти

1. Първото нещо, което ще отбележим, е че между пресичащите се окръжности [tex]k_{1}[/tex] и [tex]k_{2}[/tex] е изпълнено свойството X
[tex]\Rightarrow O_{1}O_{2} \bot AB[/tex] и [tex]AP = PB[/tex] (1)

2. Разглеждаме правите [tex]O_{2}A[/tex] и [tex]OO_{1}[/tex]:
[tex]O_{2}A \bot AX[/tex] (радиус към допирателна в [tex]k_{2}[/tex])
но и [tex]OO_{1} \bot AX[/tex] (свойството X между [tex]k[/tex] и [tex]k_{1}[/tex])
[tex]\Rightarrow O_{2}A || OO_{1}[/tex] (2)

3. Аналогично ще разгледаме и правите [tex]O_{1}A[/tex] и [tex]OO_{2}[/tex] спрямо [tex]AY[/tex] между окръжностите [tex]k[/tex] и [tex]k_{2}[/tex].
И също така аналогично ще достигнем до [tex]O_{1}A || OO_{2} \bot AY[/tex] (3)

4. От (2) и (3) следва, че [tex]AO_{1}OO_{2}[/tex] е успоредник.

5. От там следва, че [tex]O_{1}O_{2}[/tex] разполовява [tex]AO[/tex] (тъй като са диагонали в успоредник)
[tex]\Rightarrow AM = MO[/tex] (4)

6. От (1) и (4) следва окончателно, че [tex]PM[/tex] е средна отсечка в [tex]\Delta AOB[/tex].
И тъй като [tex]\angle O_{2}PA = 90^\circ \Rightarrow \angle OBA = \angle MPA = 90^\circ[/tex] (тъй като средната отсечка е успоредна на основата)

С това приключва епичното решение. Изключително много ми хареса задачата! Бих се радвал ако споделиш източник (макар и за 8. клас, предполагам и за 9. ще има ). Бих ъпвоутнал с удоволствие, но нямаш регистрация

[Гост]

Благодаря ти изключително много! Въобще не се бях сетила за това решение. Даже не ми беше минало през ума нещо такова.
Източника на задачата не го знам, защото госпожата ми по математика случайно се сети, че може и да е интересна. Ако днес спомене от къде е ще пиша пак.
Благодаря отново!

[Davids]

Няма проблеми!

Даже не ми беше минало през ума нещо такова.

И на мен ми минаха доста неща през ума преди това решение А ако случайно ти се намират други интересни задачи, подавай ги насам, че има глад!

[Гост]

Учителката за съжаление на спомена от къде са задачите, но даде други, които мен ме заинтригуваха, ще ги кача в отделни теми малко по-късно и ще дам линк тук, ако все пак желаеш да ги погледнеш.

[Гост]

Постнал съм ги като Права на Симпсън и Отсечката АВ, не ми дава да дам линк, не знам защо.