Права на Симпсън

[Гост]

Даден е триъгълник ABC, около него е описана окръжност. От окръжността е избрана произволна точка, а от точката са спуснати височини към всяка от страните ( или продълженията им). Петите на трите височини са P, Q, R съответно към страните AC, AB, BC. Да се докаже, че трите пети лежат на една права.

В сайта има публикувано решение, но то не ми върши работа.

[Davids]

Че решението от сайта (тук) си е достатъчно, защо не ти върши работа?

[Гост]

Защото предстои да вземем окръжност описана около четириъгълник. Както и да е вече реших задачата без да ползвам окръжностите.

[Гост]

sim.PNG (20.55 KiB) Прегледано 1225 пъти

Лесно става с комплексни числа. Нека $abc$ е вписан в единичната окр. $|z|=1$ [tex]\Rightarrow \overline{z}=1/z[/tex]

[tex]p_1=(1/2)(a+b+p-ab\overline{p}),p_2=(1/2)(b+c+p-bc\overline{p}),p_3=(1/2)(a+c+p-ac\overline{p})[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{p_2-p_1}{p_3-p_1}=\frac{(c-a)(p-b)}{(c-b)(p-a)}=\frac{\overline{p_2}-\overline{p_1}}{\overline{p_3}-\overline{p_1}}[/tex] [tex]_{Q.E.D. }[/tex]

P.S. Правата е на Симсън, Симпсън е друг...

[Гост]

Не е този...

simps.PNG (71.91 KiB) Прегледано 1223 пъти