Отсечката АB

[Гост]

Дадена е отсечката АВ и точка М, която и принадлежи. В една пулоравнина спрямо АВ са построени квадрати АММ1А и МВ1ВМ2. Окръжностите около тези квадрати се пресичат в точките М и К.
Да се докаже, че:
а) АМ2 и ВМ1 минават през точка К
б) дължината на КС не зависи от мястото на точката М върху отсечката АВ, където С е среда на АВ
в) правата МК минава през една постоянна точка.

[Davids]

а)
[tex]\angle AKM_{1} = 90^\circ[/tex] (описан от диаметър в к1)
Същото нещо важи и за [tex]\angle BKM_{2}[/tex] в к2.
Оттам следва че [tex]\angle AKM_{2} = 180\circ[/tex] откъдето следва, че трите точки са на една права.

За четириъгълника AMM1K знаем, че е вписан в окръжността и [tex]\angle AMM_{1} = \angle AKM_{1} = 90\circ[/tex]. Следователно, ако означим [tex]KAM = \alpha[/tex], то [tex]\angle KM_{1}M = 180 - \alpha[/tex]
Оттам получаваме, че съседния на ъгъл КМ1М ъгъл KM1M2 = [tex]\alpha[/tex]
Но [tex]\angle M_{1}KM_{2} = 90\circ \Rightarrow \angle KM_{2}M_{1} = 90 - \alpha[/tex]
И така получаваме, че [tex]\overline{MK} = 90 - \alpha[/tex]

И сега ако разгледаме ъгъл MBK = [tex]90 - \alpha[/tex]

Но знаем, че [tex]BMM_{1} = 90\circ[/tex] и така получаваме, че пресечната точка на MM2 и BK сключва ъгъл [tex]\alpha[/tex]
Следователно това е точка М1, за която на теория съседния ъгъл също би трябвало да е алфа. С това получаваме, че ъгълът [tex]KM_{1}B = 180 - \alpha + \alpha = 180\circ[/tex] и така трите точки са на една права...


б)
Както вече доказахме, триъгълник АКВ е правоъгълен с хипотенуза АВ. Оттам следвс, че KC винаги е медиана в правоъгълния триъгълник и винаги е равен на половината от хипотенузата АВ.

в)
Тук не можах да разбера условието с постоянната точка...

[KOPMOPAH]

Много богата задача. Може още да се добави, че $A_1B_1$ минава през т. $K$, $MK\bot A_1B_1$, $\triangle AKB$ е правоъгълен

[Гост]

в)
Тук не можах да разбера условието с постоянната точка...

Предполагам, че на в под точка се иска да се докаже, че не променя положението си при измяна над другите компоненти. Аз за първи път се сблъсквам с подобно доказателство, разглеждах чертежа на платформата и наистина седи неподвижна, но..
Благодаря ти за другата част!

[Knowledge Greedy]

Това, което се променя е точка [tex]M[/tex].

в) Решението на подточка в) сте направили в подточка б)
Само си прочетете условието на задачата

Дадена е отсечката [tex]АВ[/tex] и точка [tex]М[/tex], която ѝ принадлежи. В една полуравнина спрямо [tex]АВ[/tex] са построени квадрати [tex]АММ_1А[/tex] и [tex]МВ_1ВМ_2[/tex]. Окръжностите около тези квадрати се пресичат в точките [tex]М[/tex] и [tex]К[/tex].
Да се докаже, че:
а) [tex]АМ_2[/tex] и [tex]ВМ_1[/tex] минават през точка [tex]К[/tex];
б) Дължината на [tex]КС[/tex] не зависи от мястото на точката [tex]М[/tex] върху отсечката [tex]АВ[/tex], където [tex]С[/tex] е среда на [tex]АВ[/tex];
в) Правата [tex]МК[/tex] минава през една постоянна точка.

и продължете правата [tex]MK[/tex] до пресичането ѝ със симетралата на [tex]AB[/tex]

Неподвижната точка I.png (7.66 KiB) Прегледано 322 пъти