Параметрично квадратно уравнение

[Гост]

a[tex]x^{2}[/tex]+bx+c=0.
Ако е изпълнено равенството a-b+c=0, определете един от корените на уравнението

[Гост]

При x=-1 получаваме уравнениеТо

[Davids]

Първи вариант:
По формулите на Виет имаме:
$\begin{array}{|l} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ x_1x_2 = \frac{c}{a} \end{array}$
Но даденото е [tex]a-b+c = 0 \Rightarrow b = a+c[/tex]
Следователно $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{a+c}{a} = -1 - \frac{c}{a}$
Но [tex]\frac{c}{a} = x_1x_2[/tex], заместваме и получаваме:
$x_1 + x_2 = -1 - \frac{c}{a} = -1 - x_1x_2$
$\Rightarrow x_1 + x_1x_2 + x_2 + 1 = 0$
Можем да групираме:
$x_1(1 + x_2) + x_2 + 1 = 0$
$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 0$
Откъдето всъщност става ясно, че $x_1 = -1$ и $x_2$ може да е всякакво, или обратното

Втори начин:
Дискриминантата на уравнението $ax^2 + bx + c = 0$ е:
$D = b^2 - 4ac$
Само че от даденото имаме $b = a + c$
Следователно $D = (a+c)^2 - 4ac = a^2 + 2ac + c^2 - 4ac = a^2 - 2ac + c^2 = (a-c)^2$
Оттам вече $x_1 = \frac{-b -\sqrt{D}}{2a} = \frac{-b - a + c}{2a}$
Само че от даденото пак следва, че $-b+c = -a$, заместваме в корена и получаваме:
$x_1 = \frac{-a-a}{2a} = \frac{-2a}{2a} = -1$
Като при какъвто и да е опит за намиране на втория корен по даденото, всичко се съкращава
Всъщност от втория корен можем да достигнем само и единствено отново до първия. Нека опитаме:
$x_2 = \frac{-b+a-c}{2a}$
Можем да заместим $-b+a = -c$
Получаваме $x_2 = \frac{-c-c}{2a} = -\frac{c}{a} = -x_1x_2$
Съкращаваме $x_2$, с което пак получаваме: $1 = -x_1 \Rightarrow x_1 = -1$

[drago]

Виж сега, колко е просто:
Допускаме, че a-b+c=0
Слагаме $x=-1$ и става: $a-b+c$, което е $0$, т.е. $x=-1$ е корен.