Един фермер по план е трябвало да засее 150 хектара в опреде

[Гост]

1.Един фермер по план е трябвало да засее 150 хектара в определен срок. Получило се така,че засявал по 5 хектара на ден повече от заплануваното и затова завършил сеитбата един ден предсрочно. За колко дни е засял?
2. Бригада селяни трябвало да набере120 тона грозде в определен срок.Първите5 дни бригадата работила по план.След това ежедневно набира по 4 тона повече от заплануваното, поради което приключила работа 2 дни преди срока и набрала 136 тона грозде. Колко дни е трябвало да работи бригадата?
3.Бедрото на равнобедрен триъгълник е 12 см.През средата на височината му е построена права, успоредна на бедрото. Да се намери частта от тази права,която е в триъгълника.
4.Даден е тр.АВС с медиана СМ. През т.А и средата на СМ е построена права, която пресича ВС в т.Р. да се намерят отсечките ВР И СР, ако ВС=8,7см.
5.Единият диагонал и едната основа на правоъгълен трапец са по 14 см, а единият от ъглите му е 120 градуса.Д а се намери средната отсечка на трапеца.
Благодаря

[Davids]

1. Зад.: По план количество работа $150 $декара той е трябвало да свърши за $t$ дни, засявайки по $n$ декара на ден. Тоест, $150 = nt$.
Само че същото количество работа той свършва за $t-1$ дни, засявайки по $n + 5$ декара на ден. Вече имаме:
$150 = nt = (n+5)(t-1)$
От дясната страна изразяваме:
$nt = (n+5)(t-1)$
$nt = nt - n + 5(t - 1)$
$n = 5(t-1)$
Заместваме в лявата страна:
$5t(t-1) = 150$
$t^2 - t = 30$
$t^2 - t - 30 = 0$
Решения са $t_1 = -5; t_2 = 6$, от които само второто е възможно. И след като по план е трябвало да свърши работата за 6 дни, то той в действителнст я свършва за $5$.

2. Зад.: По план трябвало $t$ дни да берат по $n$ тона грозде на ден и да наберат общо $120$ тона грозде.
Първите пет дни по план, следователно имаме $5n$ работа през първите пет дни, а за останалите $t - 5 - 2$ (защото освен петте дни, в които работили по план, свършили два дни по-рано) дни брали по $n + 4$ тона грозде.
Тоест имаме следната система:
[tex]\begin{array}{|l} nt = 120 \\ 5n + (n + 4)(t - 7) = 136 \end{array}[/tex]
От второто уравнение достигаме до $n = 2(t - 11)$
Замествайки в първото:
$2t(t-11) = 120$
$t^2 - 11t - 60 = 0$
Единствен положителен корен е $t_2 = 15$ и за толкова дни е трябвало да свършат работата по план.

[Davids]

3. Зад.: Не е казано коя височина точно, но предполагам тази към основата.
Стандартни означения, ще я кръстим $CH$. Нейната среда ще е точка $P$, а правата през тази точка ще пресича $AB$ в точка $K$ и $AC$ в точка $M$.
В $\Delta HBC$ имаме отсечка, която минава през средата на страната $CH$ и е успоредна на срещулежащата й страна, следователно $PK$ е средна отсечка в $\Delta HBC$ и оттам следва, че $K$ е среда на $BH$. И тъй като $CH$ разполовява $AB$, то имаме $AK : AB = 3 : 4$.
Това обаче е коефициент на подобие за подобните $\Delta AKM \approx \Delta ABC$, следователно важи и за другите страни.
Откъдето $KM : BC = KM : 12 = 3 : 4 \Rightarrow KM = 9cm$ е отсечката от тази права, която е в триъгълника.