Забележителни точки в триъгълник

[Гост]

Ъглополовящата, медианата и височината, построени от един връх на триъгълник, разделят ъгъла при този връх на четири равни части. Да се намерят ъглите на този триъгълник.

[inveidar]

гггггг.png (28.04 KiB) Прегледано 235 пъти

Първо описваме окръжност около триъгълника [tex]ABC[/tex]. Продължаваме височината, медианата и ъглополовящата, както е на чертежа. Сега трябва да съобразиш, че на равни вписани ъгли отговарят равни хорди и обратното. От там, [tex]AH_1M_1B[/tex] е равнобедрен трапец, т.е [tex]\angle M_1H_1C=90^0[/tex]. От това следва, че [tex]M_1C[/tex] е диаметър на окръжността и центърът и лежи на него. От друга страна, центърът на окръжността лежи и на симетралата на [tex]AB[/tex]. Но симетралата и диаметърът се пресичат в точка [tex]M[/tex], откъдето следва, че точно тя е център на описаната окръжност. После е лесно.