Вписан четриъгълник

[Гост]

Четириъгълник АВСД е вписан в окръжност. Докажете ,че ако АС=ВD, то АВ е успоредна на СD..
Благодаря!

[Nathi123]

Нека [tex]CD\ge AB ; \Delta BCD[/tex] и [tex]\Delta ACD ; AC=BD[/tex] ( по усл. ) ; CD - обща ; [tex]\angle CAD= \angle DBC = \frac{1}{2}[/tex] дъгатаCD.
По ІV-ти признак [tex]\Rightarrow \Delta ACD \cong \Delta BCD\Rightarrow \angle BDC=\angle ACD ; \angle ABD=\angle ACD=\frac{1}{2}[/tex] дъг.AD
[tex]\Rightarrow \angle BDC=\angle ABD[/tex] и кръстни за AB и CD пресечени с BD [tex]\Rightarrow AB||CD[/tex].

[S.B.]

ABCD - вписан;
Използвам че на равни хорди съответстват равни дъги от окръжността.
От AC=BD [tex]\rightarrow[/tex] дъгата BCD =дъгата ADC
дъгата BCD = дъгата BC + дъгата CD
дъгата ADC = дъгата AD + дъгата CD
[tex]\Rightarrow[/tex] дъгата AD = дъгата BC
но [tex]\angle[/tex]CAB = [tex]\frac{1}{2}[/tex].дъгата BC,a [tex]\angle[/tex]ACD = [tex]\frac{1}{2}[/tex].дъгата AD
[tex]\rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ACD = [tex]\angle[/tex]BAC
но [tex]\angle[/tex]ACD и [tex]\angle[/tex]BAC са кръстни ъгли,образувани при пресичането на DC и AB с AC

[tex]\Rightarrow[/tex] AB II CD

[inveidar]

Твърдението от задачата, както и двете решения, са грешни!

[Knowledge Greedy]

inveidar Нед Юни 25_ 2017.png (3.24 KiB) Прегледано 1244 пъти

[KOPMOPAH]

По-правилната формулировка е, че четириъгълникът винаги е трапец, естествено - равнобедрен, щом е вписан в окръжност.

[S.B.]

По-правилната формулировка е, че четириъгълникът винаги е трапец, естествено - равнобедрен, щом е вписан в окръжност.

А нима имаш нещо против вместо да бъде равнобедрен трапец,да бъде правоъгълник? Защото и правоъгълникът може да се впише в окръжност,а и неговите диагонали са равни,нали?

[KOPMOPAH]

Нямам нищо против, още повече, че всеки правоъгълник е и трапец, без да е вярно обратното твърдение
Фактът, че обикновено основите на трапеца са различни, не изключва правоъгълниците от множеството на трапеците. Никъде в дефиницията за трапец не присъства изричното изискване успоредните му страни, известни като долна и горна основа, да са с различни дължини.

[S.B.]

Нямам нищо против, още повече, че всеки правоъгълник е и трапец, без да е вярно обратното твърдение
Фактът, че обикновено основите на трапеца са различни, не изключва правоъгълниците от множеството на трапеците. Никъде в дефиницията за трапец не присъства изричното изискване успоредните му страни, известни като долна и горна основа, да са с различни дължини.

Правоъгълникът е УСПОРЕДНИК който има прав ъгъл или е УСПОРЕДНИК с равни диагонали или е ЧЕТРИЪГЪЛНИК с 3 прави ъгъла.
Трапецът е ЧЕТРИЪГЪЛНИК на който 2 от страните са успоредни,но другите 2 не са.
Правоъгълникът притежава ВСИЧКИ свойства на УСПОРЕДНИКА, докато ТРАПЕЦЪТ не притежава такива свойства.ТРАПЕЦЪТ не е от семейството на успоредниците.

[Гост]

Много добър преговор на дефинициите. Но inveidar е прав.

Твърдението от задачата, както и двете решения, са грешни!

Опитът на

По-правилната формулировка е, че четириъгълникът винаги е трапец, естествено - равнобедрен, щом е вписан в окръжност.

да спаси задачата
може би да редактираме така:

В подкрепа на inveidar и KOPMOPAH.png (7.15 KiB) Прегледано 1215 пъти

"Четириъгълник АВСD, който не е правоъгълник, е вписан в окръжност. Докажете, че ако АС=ВD, то четириъгълникът е трапец.".

[S.B.]

Много добър преговор на дефинициите. Но inveidar е прав.

Твърдението от задачата, както и двете решения, са грешни!

Опитът на

По-правилната формулировка е, че четириъгълникът винаги е трапец, естествено - равнобедрен, щом е вписан в окръжност.

да спаси задачата
може би да редактираме така:

В подкрепа на inveidar и KOPMOPAH.png

"Четириъгълник АВСD, който не е правоъгълник, е вписан в окръжност. Докажете, че ако АС=ВD, то четириъгълникът е трапец.".

Могат да се направя всякакви формолировки,но това вече няма да е нашата задача,а ще бъде свободно съчинение на тема "Вписан четриъгълник"

[Гост]

В името на радиоточката.
(Нея можеш само да я слушаш [tex]^{\ast}[/tex] )
Задачата в първоначалния ѝ вид е некоректна, решението ѝ - също.
--------------
[tex]^{\ast}[/tex] А можеш и да я изключиш (радиоточката).

[S.B.]

В името на радиоточката.
(Нея можеш само да я слушаш [tex]^{\ast}[/tex] )
Задачата в първоначалния ѝ вид е некоректна, решението ѝ - също.
--------------
[tex]^{\ast}[/tex] А можеш и да я изключиш (радиоточката).

Добре,така да е!Задачата да е некоректна!Но защо не го докажеш?!Или твърдението се доказва само с твърдение,че "трапец" и "правоъгълник" са горе доло едно и също нещо?Колкото до "радиоточката" ще се напреавя,че не съм те разбрала...

[inveidar]

Какво има да се доказва, госпожо? Просто в България, в българските учебници по математика изрично пише, че трапец е четириъгълник, на който две от страните са успоредни, а другите две НЕ СА УСПОРЕДНИ. Такава е договорката. В Русия и други държави и успоредникът е трапец, но тук не е. При това положение няма място за спор. А задачата е грешна, защото не е задължително АВ да е успоредна на CD. Може ВС да е успоредна на AD. Това е чисто и просто като милиционер след баня!

[ptj]

Твърдението от задачата, както и двете решения, са грешни!

За мен задачата си е напълно коректна. Равенството на дъгите [tex]AB[/tex] и [tex]DC[/tex] e очевидно. Означаваме центровете на дъгите [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex] съответно с [tex]М[/tex] и [tex]N[/tex]. Предполагам всеки осмокласник може да докаже, че [tex]MN[/tex] e диаметър. Следващата крачка е доказването на [tex]MN\bot AD[/tex] и [tex]MN\bot BC[/tex] - чрез мярката на получените при пресичането им вътрешни ъгли ([tex]90^\circ[/tex]) изразени чрез съответните дъги ( [tex]180^\circ[/tex]).

[inveidar]

Твърдението от задачата, както и двете решения, са грешни!

За мен задачата си е напълно коректна. Равенството на дъгите [tex]AB[/tex] и [tex]DC[/tex] e очевидно. Означаваме центровете на дъгите [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex] съответно с [tex]М[/tex] и [tex]N[/tex]. Предполагам всеки осмокласник може да докаже, че [tex]MN[/tex] e диаметър. Следващата крачка е доказването на [tex]MN\bot AD[/tex] и [tex]MN\bot BC[/tex] - чрез мярката на получените при пресичането им вътрешни ъгли ([tex]90^\circ[/tex]) изразени чрез съответните дъги ( [tex]180^\circ[/tex]).

Жалко. Мислех си, че си по-умен.

[ptj]

21.png (19.15 KiB) Прегледано 1123 пъти

[inveidar]

inveidar Нед Юни 25_ 2017.png

Ptj, ти сляп ли си?!

[Гост]

Той пък изобщо не е дочел условието, камо ли няк`ви там коментари

[ptj]

O.K. разбрах разликата.
[tex]ABCD[/tex] се получава равнобедрен трапец, но с така даденото условие не може да се каже коя е двойката успоредни страни.
За да се получи коректно условие е достатъчно да се добави [tex]AB\ne CD[/tex].