Медицентър на триъгълник!

[Гост]

В триъгълник АBC СМ е медиана,като АB:CM като 2:3.Докажете,че медианите през върховете А и B са перпендикулярни.

Даден е успоредник ABCD.Докажете,че медицентровете на тръгълниците ABC,BCD,CDA,DAB са върхове на успоредник.

Помогнете за двете задачи

[KOPMOPAH]

Медицентър-1.png (13.4 KiB) Прегледано 1779 пъти

По условие $CM$ е медиана, значи $CG:CM=2:3$, откъдето $GM=\frac 13CM$. Като се има предвид, че $AB:CM=2:3$, $AB=2AM$, $GM=\frac 13CM$, получаваме $AM=MB=GM$ и т.$M$ е център на описаната около $\triangle ABG$ окръжност, следователно той е правоъгълен.

[Гост]

нека т.G e медицентър на тр-ка.Построй окръжност К с център т.М и радиус АМ.Окр. ще минава през т.А,т.В,т.G.
т.е. АМ,ВМ,GM се явяват радиуси на окр.К
Оставям на теб да докажеш,че АМ=ВМ=GM
[tex]\angle[/tex]BGA е вписан в окр.К[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]BGA=[tex]\frac{дъгата АВ}{2}[/tex]=[tex]\frac{180^\circ}{2}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]AG[tex]\bot[/tex]BG т.е. мед.през т.А[tex]\bot[/tex]на мед.през т. В