Задачи за 8 клас

[Гост]

1. В успоредника ABCD диагоналът AC e 12 см. Ако т. М е среда на CD и BM пресича AC в т. P. Намерете CP.
2. Лицето на триъгълник ABC е 18 кв.см., CC1 е медиана, а M е медицентър. Намерете лицата на триъгълниците ACC1, BCC1 и AMC1.

[ева]

Построяваме BD;BD и АС се пресичат в т.О.Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]BCD-BM e медиана,СО е медиана(защото т.О е среда на BD; нали диаг.взаимно се разполовяват )т.Р е пресечна т. на медианите[tex]\Rightarrow[/tex]т.Р е медицентър[tex]в_{\triangle }[/tex]BCD[tex]\Rightarrow[/tex]
СР=[tex]\frac{2}{3}[/tex]СО=[tex]\frac{2}{3}[/tex].[tex]\frac{12}{2}[/tex]=4
СР=4см.

[ева]

2 зад.

Скрит текст: покажи

Сигурно сте учили,че медианата дели тр-ка на два равнолицеви тр-ка.(не еднакви,а равнолицеви!)Ето как се док.това:

нека СН е височина от т.С към АВ
[tex]S_{\triangle }[/tex]АС[tex]С_{1 }[/tex]=[tex]\frac{АС_{1 }.СН}{2}[/tex]=[tex]\frac{\frac{АВ}{2}.СН}{2}[/tex]=[tex]\frac{\frac{АВ.СН}{2}}{2}[/tex]=[tex]\frac{S_{\triangle }АВС}{2}[/tex]=[tex]\frac{18}{2}[/tex]=9

[tex]S_{\triangle }[/tex]АС[tex]С_{1 }[/tex]=9[tex]см^{2}[/tex]
По същия начин намираме [tex]S_{\triangle }[/tex]ВС[tex]С_{1 }[/tex]=9[tex]см^{2}[/tex]
[tex]S_{\triangle }[/tex]AM[tex]С_{1 }[/tex]=?

Скрит текст: покажи

По-късно ще пратя р-то.

[ева]

[tex]S_{\triangle }[/tex]AM[tex]C_{1 }[/tex]=?
нека т.Р е среда на СМ[tex]\Rightarrow[/tex]СР=РМ=М[tex]С_{1 }[/tex] (1)
т.[tex]Н_{1 }[/tex].т.[tex]Р_{1 }[/tex] лежат на АВ,като М[tex]Н_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex]АВ и Р[tex]Р_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex]АВ.
Р[tex]Р_{1 }[/tex] е успоредна на СН и М[tex]Н_{1 }[/tex] е успоредна на СН (2)
от (1) и (2)[tex]\Rightarrow[/tex]Р[tex]Р_{1 }[/tex] е средна отс. в правоъг.трапец Н[tex]Н_{1 }[/tex]МС,а М[tex]Н_{1 }[/tex] е средна отс.[tex]в_{\triangle }[/tex][tex]Р_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex]Р[tex]\Rightarrow[/tex]
Получаваме 2 ур-я Р[tex]Р_{1 }[/tex]=[tex]\frac{СН+МН_{1 }}{2}[/tex] и М[tex]Н_{1 }[/tex]=[tex]\frac{РР_{1 }}{2}[/tex]
[tex]\frac{СН+МН_{1 }}{2}[/tex]=Р[tex]Р_{1 }[/tex]=2М[tex]Н_{1 }[/tex] (това е от 2 ур-е)[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{СН+МН_{1 }}{2}[/tex]=2М[tex]Н_{1 }[/tex]
СН+М[tex]Н_{1 }[/tex]=4М[tex]Н_{1 }[/tex] ;М[tex]Н_{1 }[/tex]=[tex]\frac{СН}{3}[/tex] (3)
[tex]S_{\triangle }[/tex]AM[tex]C_{1 }[/tex]=[tex]\frac{АС_{1 }.МН_{1 }}{2}[/tex]=(от(3) )=[tex]\frac{\frac{АВ}{2}.\frac{СН}{3}}{2}[/tex]=[tex]\frac{АВ.СН}{2.2.3}[/tex]=[tex]\frac{АВ.СН}{2}[/tex].[tex]\frac{1}{6}[/tex]=[tex]S_{\triangle }[/tex]АВС.[tex]\frac{1}{6}[/tex]=18.[tex]\frac{1}{6}[/tex]=3
[tex]S_{\triangle }[/tex]АМ[tex]С_{1 }[/tex]=3[tex]см^{2}[/tex]