Задача за 8 клас

[Гост]

В равнобедрения трапец ABCD, с ъгъл 45 градуса, височината е 2 см. Намерете разстоянието между средите на диагоналите на трапеца.

[Nathi123]

Нека ABCD-даденият трапец; АВ =а ; CD = b ; AB|| CD; AD=BC (по условие) . Нека AM = MC = [tex]\frac{1}{2}AC ; BN=DN=\frac{1}{2}BD[/tex].
[tex]MN\cap AD=Q; MN\cap BC=P\Rightarrow AQ=DQ=\frac{1}{2}AD; BP=CP=\frac{1}{2}BC\Rightarrow QP=\frac{1}{2}(a+b)[/tex] (QP-средна отсечка в трапеца).
[tex]\triangle ACD\Rightarrow QM=\frac{1}{2}DC=\frac{b}{2};[/tex] аналог. от [tex]\triangle DCB \Rightarrow NP=\frac{1}{2}DC=\frac{b}{2}\Rightarrow MN=\frac{a+b}{2}- \frac{b}{2} = \frac{a-b}{2}[/tex].
Неса DH[tex]\bot AB; CH_{1 }\bot AB \Rightarrow AH=BH_{1 }=\frac{a-b}{2} ; \angle DAB=\angle ABC=45^\circ[/tex] ( по условие)
[tex]\Rightarrow DH=CH_{1 }=2=AH=BH_{1 }\Rightarrow MN=\frac{a-b}{2} = 2.[/tex]

[S.B.]

Даден е трапеца ABCD, AD = BC, остър [tex]\angle[/tex] = 45[tex]^\circ[/tex] и височина = 2 см.
Нека DP[tex]\bot[/tex]AB ,P [tex]\in[/tex] AB и CQ[tex]\bot[/tex] AB ,Q[tex]\in[/tex]AB
Триъгълниците APD и BQC са правоъгълни,равнобедрени понеже [tex]\angle[/tex]A = 45[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]B = 45[tex]^\circ[/tex]
Тогава AP=DP =2 см и BQ=CQ = 2 см ; PQCD e правоъгълник . DC = PQ = x и тогава AB= x + 4
Нека средната отсечка в трапеца е MN; MN X BD = [tex]N_{1 }[/tex] и MN X AC = [tex]M_{1 }[/tex]
[tex]M_{1 }[/tex][tex]N_{1 }[/tex] е отсечката,която свързва средите на диагоналите
[tex]M_{1 }[/tex][tex]N_{1 }[/tex] = МN -(M[tex]M_{1 }[/tex] + N[tex]N_{1 }[/tex])
MN = [tex]\frac{AB + CD}{2}[/tex] = [tex]\frac{x +4 + x}{2}[/tex] = x + 2
M[tex]M_{1 }[/tex] и N[tex]N_{1 }[/tex] са средни отс. съответно в [tex]\triangle[/tex]ACD и [tex]\triangle[/tex]BCD и са =[tex]\frac{CD}{2}[/tex] =[tex]\frac{x}{2}[/tex]
тогава [tex]M_{1 }[/tex][tex]N_{1 }[/tex] = x + 2 -2.[tex]\frac{x}{2}[/tex] = 2 см