Задачи за 8-ми клас относно Виет

[Гост]

Виет

[Петър Евгениев]

Какво за Виет?

[Гост]

Виет

Здрасти искам да попитам как се разбира при квадратните уравнения дали може да се използват формулите на Виет говорим какво трябва да е равенството при дискриминантата за да може да се използват или се решава че няма решение

[Петър Евгениев]

Квадратното уравнение е от вида [tex]ax^{2}+bx+c=0[/tex]
Дискриминантата [tex]D=b^{2}-4ac[/tex], ако дискриминантата е положително число има 2 реални корена, ако е равна на нула има един двоен корен(два корена равни), ако е по-малка от нула няма реални корени.
[tex]D>0[/tex], [tex]D=0[/tex]- има корени значи можеш да използваш Виет. [tex]D<0[/tex] няма реални корени значи... няма корени тва е
Съответно формулите на Виет: [tex]x_{1 }+x_{2 }=\frac{-b}{a}[/tex]
[tex]x_{1 }.x_{2 }=\frac{c}{a}[/tex]
Ти, ако нямаш корени [tex]x_{1 }, x_{2 }[/tex], няма ги и тех в тва уравнение за реални числа сега...

[ptj]

Добре е да знаете от къде идват формулите на Виет.

Полином: Израз от вида [tex]а_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n[/tex] се нарича полином (на променливата [tex]x[/tex]) . Числата [tex]a_0,a_1,...,a_n[/tex], стоящи пред съответните степени на [tex]x[/tex] се наричат коефициенти.

(1)Твърдение за еквивалентност : 2 полинома са еквивалентни тогава и само тогава, когато имат едни и същи коефициенти пред съответните степени на неизвестното [tex](x)[/tex]. (ще го приемем като аксиома).

Казано по-друг начин каквито и стойности да даваме на неизвестното, ще получим едни и същи стойности за полинома.

Нека [tex]аx^2+bx+c=0 (а\ne0) \Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0[/tex] и

[tex]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=(x-x_1)(x-x_2)=x^2+(x_1+x_2)x+ x_1x_2[/tex] .

Какво означават последните 2 реда:

1.) Двата полинома [tex]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}[/tex] и [tex]x^2-(x_1+x_2)x+ x_1x_2[/tex] са еквивалентни (заради "=").

Тогава съгласно (1) : [tex]\frac{b}{a}=-(x_1+x_2) ; \frac{c}{a}=x_1x_2[/tex] . (формули на Виет)
(В случая неизвестно е само [tex]x[/tex], докато [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са просто означения за числа.)

2.) [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са корените на [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]

Всичко написано по-горе означава, че за корените на квадратно уранение са в сила формулите на Виет.

(*) Вярно е и всичко записано досега, но в обратен ред.

Т.е. ако имаме [tex]x_1,x_2\in R[/tex] изпълняващи формулите на Виет за уравнението [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], то негови корени са [tex]x_1,x_2[/tex].


Важен коментар:
За работим с формули на Виет, не ние е необходимо да изследваме дискриминантата на квадратното уравнение!