Успоредник

[selin.ilhan14]

Точка P е среда на страната AB на успоредника ABCD. Правата DP пресича диагонала AC в точка Q. Докажете, че AC=3AQ и DQ=2QP.

Моля, помогнете ми.

[ptj]

Решава се с "теорема на Талес".

Построение:
1.) Построяваме права [tex]l[/tex] през [tex]т.C[/tex] успоредна на [tex]DP[/tex].
2.) Продължаваме лъча [tex]\vec{AB}[/tex] до пресичането му с [tex]l[/tex] в т.Е.

Доказателство:
[tex]DP\parallel CE, DC \parallel PE\Rightarrow PECD[/tex] е успоредник, сл. [tex]PE=DC[/tex].
Но по условие и [tex]AB=DC[/tex], т.е. [tex]AB=PE[/tex].
[tex]AP=\frac{1}{2}AB \Rightarrow AP:PE=AP:AB=1:2 \Rightarrow AP:AE=AP:(AP+PE)=1:(1+2)=1:3[/tex]

[tex]DP\parallel CE[/tex] (по построение), тогава от теорема на Талес [tex]\Rightarrow AQ:AC=AP:AE[/tex], т.е. [tex]AQ:AC=1:3[/tex]