Задача от окръжност

[Гост]

Здравейте! Моля ви за помощ за съответната задача, която ми трябва спешно за утре. Ще се радвам на бързи отговори, благодаря!


Окръжностите k1 i k2 се допират външно в точка А. Една от общите им външни допирателни допира окръжностите k1 i k2 съответно в точките Б и Ц и пресича общата им вътрешна допирателна в точка М.
а/ намерете [tex]\angle[/tex] BAC
b/ докажете че О1О2М е правоъгълен тръгълник. задачата е от учебника на "Анубис " за 8кл, урок 51, задача 6

[Davids]

a) От точка M реално имаш спуснати четири допирателни - по две към всяка окръжност. А както добре знаеш, двете допирателни от точка към окръжност са равни. Следователно имаш $BM = MA = MC$. От което следва, че в триъгълник $\Delta ABC$ медината към едната страна е равна на половината от нея - следователно триъгълникът е правоъгълен и $\angle BAC = 90^{\circ}$;
б) Знаем също и че центърът на окръжността, към която са спуснати двете допирателни от дадена точка, лежи на ъглополовящата на ъгъла с връх тази точка и рамена - допирателните. И понеже $O_1M$ и $O_2M$ се явяват ъглополовящи на два съседни ъгъла $\angle BMA$ и $\angle CMA$, то ъгълът сключен между тях винаги ще е $\angle O_1MO_2 = 90^{\circ}$. Доказва се по следния начин: ако имаш два съседни ъгъла $\alpha + \beta = 180^{\circ}$, то сборът от половинките (който сбор всъщност представлява и ъгълът, сключен между ъглополовящите на тези два съседни ъгъла), ще е равен на $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$. И триъгълникът е правоъгълен.

[Гост]

Много благодаря!