задачи за окръжност

[Гост]

1. Допирателната към окръжността k в точка C и секущата AB се пресичат в точка M (А е между B и M) и < AMC=42 градуса. Ако < BAC=4 <MCA, намерете ъглите на ∆ ABC.
2. В окръжност к хордата AB сключва с допирателната t към окръжността в точка A ъгъл 45 градуса. Хордата BC е успоредна на допирателната t. Ако разстоянието между t и BC е 18 см, намерете дължината BC (в см).

[Davids]

1. Допирателната към окръжността k в точка C и секущата AB се пресичат в точка M (А е между B и M) и < AMC=42 градуса. Ако < BAC=4 <MCA, намерете ъглите на ∆ ABC.
2. В окръжност к хордата AB сключва с допирателната t към окръжността в точка A ъгъл 45 градуса. Хордата BC е успоредна на допирателната t. Ако разстоянието между t и BC е 18 см, намерете дължината BC (в см).

1. Имаме още от даденото, че $\angle MCA = x; \angle BAC = 4x$.
Имаме $\angle MCA = \frac{1}{2}\widehat{AC} = \angle ABC = x$.
Да, но $\angle BAC$ е външен за $\Delta AMC$, следователно $\angle BAC = \angle MCA + \angle AMC \Rightarrow 4x = 42 + x$, откъдето $x = 14^{\circ}$.
Следователно ъглите са:
$\angle BAC = 4x = 56^{\circ}$
$\angle ABC = x = 14^{\circ}$
$angle BCA = 180 - (\angle BAC + \angle ABC) = 180 - (56 + 14) = 110^{\circ}$

2. От дадения ъгъл 45 градуса в условието веднага следва, че дъгата $\widehat{AB} = 90^{\circ}$. Следователно $\angle BCA = \frac{1}{2}\widehat{AB} = 45^{\circ}$. От друга страна обаче имаме две успоредни брави $CB || t$, следователно $\angle CBA = \angle BAt = 45^{\circ}$, тъй като са съответни ъгли при права, пресичаща две успоредни други прави. Оттам вече получаваме, че $\Delta ABC$ е равнобедре правоъгълен с $\angle A = 90^{\circ}$, а разстоянието между двете успоредни прави $CB || t$ се явява височина към хипотенузата, която обаче в равнобедрения тръгълник е и медиана. А както знаем, в правоъгълния тръгълник медианата е половината от хипотенузата, следователно хипотенузата $BC = 2.18 = 36cm$

[Гост]

Моля за помощ за следната задача: През точка А от окръжност с център О е построен диаметър АВ и хорда АС. Ако [tex]\angle[/tex]AOC - [tex]\angle[/tex]BOC = 28°, намерете ъглите на [tex]\triangle[/tex]АВС