задачи за окръжност

[Гост]

1. В окръжност к( О ) диаметърът AB пресича хордата CD в точка M ( M e A и О) и < DMO=30 градуса. Ако разстоянието от О до CD е 7 см и MB=38 см, намерете дължината на AM (в см).

2. Точките A, B и C са от окръжността k и дъгата AB : дъгата BC : дъгата CA=7:6:5. Намерете ъглите, които допирателните към k в точките A, B и C сключват помежду си.

[Davids]

1. Тук.

2. Знаем, че сборът от градусните мерки на трите дъги е $360^{\circ}$, тъй като сключват пълна окръжност. Следователно имаме $7x + 6x + 5x = 18x = 360 \Rightarrow x = 20^{\circ}$ и оттам намираме дъгите: $\widehat{AB} = 140^{\circ}; \widehat{BC} = 120^{\circ}; \widehat{AC} = 100^{\circ}$.
Сега остана да намерим мерките на трите ъгъла на триъгълника, получен при пресичането на трите допирателни. Това става лесно, като ползваме едно основно знание: външен за окръжност ъгъл е равен на полуразликата на двете дъги, които се получават, когато лъчите му пресичат окръжността (или както в този случай - го допират).
И така ги намираме, например:
$\angle CKA = \frac{1}{2}(\widehat{CBA} - \widehat{CA}) = \frac{1}{2}(260 - 100) = 80^{\circ}$
$\angle ALB = \frac{1}{2}(\widehat{ACB} - \widehat{AB}) = \frac{1}{2}(220 - 140) = 40^{\circ}$
$\angle BMC = \frac{1}{2}(\widehat{BAC} - \widehat{BC}) = \frac{1}{2}(240 - 120) = 60^{\circ}$