Окръжност

[Гост]

1. Две окръжности к1(О1) и к2 (О2) се допират външно в точка T. Едната обща външна допирателна t се допира до к1 и к2 съответно в точките T1 и Т2. Общата вътрешна допирателна на к1 и к2 пресича t в точка M. Докажете, че M е среда на T1T2 и намерете големината на <О1МО2.

[Knowledge Greedy]

Точката [tex]M[/tex], в която двете допирателни се пресичат, е на равни разстояния от допирните точки с окръжностите. Това доказва първия въпрос понеже [tex]MT_1=MT_2=MT[/tex], където [tex]T[/tex] е допирната точка на [tex]к_1[/tex] и [tex]к_2[/tex].
За втория въпрос конструкцията е следната: в триъгълник [tex]\triangle O_1O_2M[/tex] отсечката [tex]MT[/tex] е височина.
Всеки от ъглите [tex]\angle T_1MT[/tex] и [tex]\angle T_2MT[/tex] е съседен на другия.
Отсечките [tex]MO_1[/tex] и [tex]MO_2[/tex] играят роли на техни ъглополовящи (съответно)(може да се докаже с еднакви триъгълници). Но ъглополовящите на двойка съседни ъгли сключват прав ъгъл помежду си . Това означава, че [tex]\angle O_1MO_2 = 90^\circ[/tex]