Окръжност, описана около триъгълник

[selin.ilhan14]

В окръжност k с център O е вписан триъгълник ABC с [tex]\angle[/tex]ACB=60[tex]^\circ[/tex]. Ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]ACB пресича k в точка P. Докажете, че четириъгълникът AOBP е ромб.

[ева]

СР е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]АСВ [tex]\Rightarrow[/tex] вписаният [tex]\angle[/tex]АСР=30[tex]^\circ[/tex] и вписаният [tex]\angle[/tex]ВСР=30[tex]^\circ[/tex]
Знаем,че [tex]\angle[/tex]АСР=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\widehat{AP}[/tex] т.е. 30[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\widehat{AP}[/tex] ; [tex]\widehat{AP}[/tex]=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] централният [tex]\angle[/tex]AOP=[tex]\widehat{AP}[/tex]=60[tex]^\circ[/tex] (1)
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АРО-AO=PO=R т.е. [tex]\triangle[/tex]АРО е равнобедрен[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ОАР=[tex]\angle[/tex]АРО=[tex]\alpha[/tex]
([tex]\triangle[/tex]АРО и ползваме (1)) [tex]\alpha[/tex]+[tex]\alpha[/tex]+60[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex]=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АРО е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex] АР=АО=R (2)
По същия начин доказваме,че BP=BO=R (3)
Доказахме (от (2) и (3)),че АО=АР=ВР=ВО [tex]\Rightarrow[/tex] АОВР е ромб