Окръжност, описана около триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник ABC. Ъглополовящите на външния и вътрешния ъгъл при върха C пресичат описаната около триъгълника окръжност в точки P и Q. Докажете, че PQ е диаметър.

[Nathi123]

Нека [tex]\angle ACP=\angle PCB=\frac{\gamma}{2} ;\angle ACQ = \angle QCM =90^\circ - \frac{\gamma}{2}.[/tex] Точките В,С и М са от една права и т.С е между В и М, а точките Р и Q са от описаната около триъг. окръжност.
[tex]\Rightarrow \angle ACP + \angle ACQ =90^\circ = \angle PCQ \Rightarrow PQ= 2R[/tex] ,където R - радиус на описаната окръжност ,защото
[tex]\angle PCQ=90^\circ[/tex] и вписан в окръжността т.е. дъгата APQ = [tex]180^\circ \Rightarrow PQ=2R[/tex].