Описан триъгълник

[Гост]

Около окръжност с радиус 5см. е описан правоъгълен триъгълник с хипотенуза 20см. Намерете периметъра на триъгълника.

[Hephaestus]

Използвам стандартни означения. Имаме [tex]r = 5, c = 20[/tex].
За всеки правоъгълен триъгълник радиусът на вписаната окръжност се дава с формулата [tex]r = \frac{a+b-c}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow a + b = 2r + c = 10 + 20 = 30[/tex]. Тогава [tex]P = a + b + c = 30 + 20 = 50[/tex] см.

Решението на задачата е кратко, знаейки необходимите зависимости. Ако в действителност идеята ѝ е да се изведе тази формула [tex]r = \frac{a+b-c}{2}[/tex], това става с помощта на известното свойство, че допирателните от външна точка към дадена окръжност са равни.

По чертежа:
[tex]AB = c, BC = a, AC = b[/tex]
Окръжността се допира до страните [tex]BC, CA, AB[/tex] съответно в точките [tex]D, E, F[/tex].
Тогава [tex]OE = OD = OF = r[/tex].
От гореспоменатото свойство следва, че [tex]AE = AF[/tex], [tex]BD = BF[/tex] и [tex]CE = CD[/tex].
Тъй като [tex]OE = OD = r[/tex] и [tex]\angle OEC = \angle ODC = \angle DCE = 90^\circ[/tex], то четириъгълникът [tex]ODCE[/tex] е квадрат [tex]\Rightarrow DC = EC = r \Rightarrow AE = b - r = AF, BD = a - r = BF[/tex], откъдето получаваме
[tex]AB = c = AF + BF = b - r + a - r \Rightarrow 2r = a + b - c \Rightarrow r = \frac{a+b-c}{2}[/tex].

[Гост]

Използвам стандартни означения. Имаме [tex]r = 5, c = 20[/tex].
За всеки правоъгълен триъгълник радиусът на вписаната окръжност се дава с формулата [tex]r = \frac{a+b-c}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow a + b = 2r + c = 10 + 20 = 30[/tex]. Тогава [tex]P = a + b + c = 30 + 20 = 50[/tex] см.

Решението на задачата е кратко, знаейки необходимите зависимости. Ако в действителност идеята ѝ е да се изведе тази формула [tex]r = \frac{a+b-c}{2}[/tex], това става с помощта на известното свойство, че допирателните от външна точка към дадена окръжност са равни.

По чертежа:
[tex]AB = c, BC = a, AC = b[/tex]
Окръжността се допира до страните [tex]BC, CA, AB[/tex] съответно в точките [tex]D, E, F[/tex].
Тогава [tex]OE = OD = OF = r[/tex].
От гореспоменатото свойство следва, че [tex]AE = AF[/tex], [tex]BD = BF[/tex] и [tex]CE = CD[/tex].
Тъй като [tex]OE = OD = r[/tex] и [tex]\angle OEC = \angle ODC = \angle DCE = 90^\circ[/tex], то четириъгълникът [tex]ODCE[/tex] е квадрат [tex]\Rightarrow DC = EC = r \Rightarrow AE = b - r = AF, BD = a - r = BF[/tex], откъдето получаваме
[tex]AB = c = AF + BF = b - r + a - r \Rightarrow 2r = a + b - c \Rightarrow r = \frac{a+b-c}{2}[/tex].