Триъгълник

[Гост]

1. Радиусът на вътрешно вписаната в равностранен триъгълник окръжност е 4 cm. Намерете радиуса на външно вписаната окръжност.
2. Радиусът на описаната около равностранен триъгълник окръжност е 7 cm. Намерете радиуса на външно вписаната окръжност.

[Гост]

1 . 12 см. ли е отговора ?

[Гост]

Да

[S.B.]

Зад.1[tex]\triangle[/tex]ABC,равностранен със страна = a;r=4 - радиус на вп.окръжност,[tex]r_{a }[/tex] - радиус на външно вписаната окръжност,p - полупериметър на [tex]\triangle[/tex]ABC;
[tex]S_{ABC }[/tex] = p.r също [tex]S_{ABC }[/tex] = (p - a).[tex]r_{a }[/tex] тогава p.r = (p - a).[tex]r_{a }[/tex] или [tex]\frac{3a}{2}[/tex].4 = ([tex]\frac{3a}{2}[/tex] - а).[tex]r_{a }[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] 6a = [tex]\frac{a}{2}[/tex].[tex]r_{a }[/tex] от където [tex]r_{a }[/tex] = 12

Зад.2: [tex]\triangle[/tex]ABC със страна а,R = 7 - радиус на описаната окръжност;Търсим [tex]r_{a }[/tex] - радиус на външно вписаната окръжност;
[tex]\triangle[/tex]АBC е равностранен и медицентъра се явява и център на вписаната и на описаната окръжности,тогава ако CM e медиана през т.C то центъра О [tex]\in[/tex] CM и CO : OM = 2 : 1 или R : r = 2 : 1 ,но R= 7 [tex]\rightarrow[/tex] r = 3,5 и тогава както в зад.1:
[tex]\frac{3a}{2}[/tex].3,5 = [tex]\frac{a}{2}[/tex].[tex]r_{a }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]r_{a }[/tex] = 10,5