Триъгълник вписан в окръжност

[Гост]

1. В равностранен ∆ABC точките O1, O2 и O3 са центровете съответно на външно вписаните окръжности, които се допират до страните BC, CA и AB. Ако периметъра на ∆ABC e 33 cm, намерете периметъра на триъгълник О1О2О3.
2. В равностранен ∆ABC точките O1, O2 и O3 са центровете съответно на външно вписаните окръжности, които се допират до страните BC, CA и AB. Ако периметъра на триъгълник O1O2O3 е 52 cm, намерете периметъра на триъгълник ABC.

[S.B.]

Зад.1:[tex]\triangle[/tex]ABC,равностранен;[tex]P_{ABC }[/tex] = 33;[tex]O_{1 }[/tex] , [tex]O_{2 }[/tex] , [tex]O_{3 }[/tex] са центрове на външно вписаните окръжности,които се допират до AB,BC и AC;Търсим [tex]P_{O_{1 }O_{2 }O_{3 } }[/tex]
[tex]P_{ABC }[/tex] = 33 см [tex]\Rightarrow[/tex] AB = BC = AC = 11 см
Нека [tex]О_{2 }[/tex] e център на окр.която се допира до BC;[tex]CO_{2 }[/tex] - ъглополовяща на външния ъгъл C;
[tex]\angle[/tex]ABC = [tex]\angle[/tex][tex]BCO_{2 }[/tex] = 60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]CO_{2 }[/tex] II AB; [tex]\angle[/tex]BAC = [tex]\angle[/tex][tex]ACO_{3 }[/tex] = 60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CO_{3 }[/tex] II AB
От [tex]CO_{2 }[/tex] II AB и [tex]CO_{3 }[/tex] II AB [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]O_{2 }[/tex], C и [tex]O_{3 }[/tex] лежат на правата [tex]О_{2 }[/tex][tex]О_{3 }[/tex] II AB ; Аналогично A[tex]\in[/tex] [tex]О_{1 }[/tex][tex]О_{3 }[/tex] II BC и B[tex]\in[/tex] [tex]O_{1 }[/tex][tex]O_{2 }[/tex] II AC;
[tex]\triangle[/tex]BC[tex]O_{2 }[/tex] е равностранен ([tex]\angle[/tex]BC[tex]O_{2 }[/tex] = [tex]\angle[/tex]CB[tex]O_{2 }[/tex] = 60[tex]^\circ[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex][tex]CO_{2 }[/tex] = [tex]BO_{2 }[/tex] = 11;Аналогично и за [tex]АО_{3 }[/tex] = [tex]CO_{3 }[/tex] = [tex]AO_{1 }[/tex] = [tex]BO_{1 }[/tex] = 11
Или [tex]P_{O_{1 }O_{2 }O_{3 } }[/tex] = 6.11 = 66 см

Зад.2:[tex]P_{O_{1 }O_{2 } O_{3 }}[/tex] = 52 , търсим [tex]P_{ABC }[/tex]
Тази задача е обратна на зад.1;От зад.1 получихме,че ако страната на [tex]\triangle[/tex]ABC = a,то [tex]P_{O_{1 }O_{2 }O_{3 } }[/tex] = 6.a
Тогава а = [tex]\frac{P}{6}[/tex] или а = [tex]\frac{52}{6}[/tex] и [tex]P_{ABC }[/tex] = 3.[tex]\frac{52}{6}[/tex] = [tex]\frac{52}{2}[/tex] = 26