Триъгълник вписан в окръжност

[Гост]

1. Радиусът на вътрешно вписаната в равностранен триъгълник окръжност е 4 cm. Намерете радиуса на външно вписаната окръжност. Отг. 12 см
2. Радиусът на описаната около равностранен триъгълник окръжност е 7 cm. Намерете радиуса на външно вписаната окръжност. Отг. 10,5 см

[ева]

1.[tex]\triangle[/tex]АВС-равностранен,[tex]К_{1 }[/tex]([tex]О_{1 }[/tex];4 см.)-вписана,[tex]К_{2 }[/tex]([tex]О_{2 }[/tex];R)-външно вписана
т.Р лежи на правата АВ,като Р[tex]О_{2 }[/tex][tex]\bot[/tex]АВ,т.Е е допирната т.на двете окр-и.
R=?
т.[tex]О_{1 }[/tex] и т.[tex]О_{2 }[/tex] са центрове на вписани окръжности [tex]\Rightarrow[/tex] тези точки лежат на ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]АВС ,тогава [tex]\angle[/tex]АВ[tex]О_{2 }[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]РВ[tex]О_{2 }[/tex] е правоъгълен с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] Р[tex]О_{2 }[/tex]=[tex]\frac{ВО_{2 }}{2}[/tex] т.е. R=[tex]\frac{BE+EO_{2 }}{2}[/tex] (1)
Точка [tex]О_{1 }[/tex] е и медицентър на [tex]\triangle[/tex]АВС,а ВЕ е медиана,тогава Е[tex]О_{1 }[/tex]=[tex]\frac{ВЕ}{3}[/tex] т.е. 4=[tex]\frac{ВЕ}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ВЕ=12 см.

Скрит текст: покажи

Връщаме се към (1)

R=[tex]\frac{12+R}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 2R=12+R

R=12 см.