Четириъгълник вписан в окръжност

[Гост]

1. Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност и BD=10 корен от 5. Ако в четириъгълника може да се впише окръжност и BD е ъглополовяща на <ABC, намерете радиуса на описаната около ABCD окръжност. Отг. 5 корен от 5 см
2. В трапеца ABCD (AB // CD) е вписана окръжност с радиус 6 cm. Ако средната основа на трапеца е 12,5 cm, намерете периметъра на ABCD и лицето на ABCD. Отг. 50 см, 150 см2

[Davids]

1. Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност и BD=10 корен от 5. Ако в четириъгълника може да се впише окръжност и BD е ъглополовяща на <ABC, намерете радиуса на описаната около ABCD окръжност. Отг. 5 корен от 5 см

Ако означим стандартно четирите страни с $a,b,c,d$, то от описаността на четириъгълника имаме $a + c = b + d$.
Паралелно с това обаче, нека се възползваме от дадената диагонал-ъглополовяща. Тя ни гарантира, че височините от $D$ към $AB$ и $BC$ са равни (отстояния от точка върху ъглополовяща към лъчите на ъгъла). Следователно $\frac{S_{ABD}}{S_{BCD}} = \frac{\frac{ah}{2}}{\frac{bh}{2}} = \frac{a}{b}$ по стандартната формула, но и $\frac{S_{ABD}}{S_{BCD}} = \frac{\frac{ad10\sqrt{5}}{4R}}{\frac{bc10\sqrt{5}}{4R}} = \frac{ad}{bc}$ по едната формула (с радиус на описаната). Оттам веднага $\frac{a}{b} = \frac{ad}{bc} \Rightarrow c = d$. По втори признак за еднаквост на $\Delta ABD \cong \Delta BCD$ веднага следва и $a = b$.
Сега остана да докажем, че при това оформление $BD$ винаги е диаметър на окръжността. Става лесно - ако пуснеш диагонала $AC$, той ще е перпендикулярен на $BD$ (тъй като ще има две височини към $BD$ в двата еднакви триъгълника отляво и отдясно), а паралелно с това ще бъде и разполовяван от него (тъй като двете височини отляво и отдясно ще са равни, отново). А щом една хорда в окръжността разполовява друга и същевременно е перпендикулярна, то значи едната е диаметър (в нашия случай единствената дефинирана - $BD = 10\sqrt{5}$). Следователно $R = \frac{d}{2} = 5\sqrt{5}$

[Davids]

2. В трапеца ABCD (AB // CD) е вписана окръжност с радиус 6 cm. Ако средната основа на трапеца е 12,5 cm, намерете периметъра на ABCD и лицето на ABCD. Отг. 50 см, 150 см2

От радиуса на вписаната намираме $h = 2r = 12cm$.
От средната отсечка $m = \frac{a+b}{2} = 12,5 \Rightarrow a + b = 25$
От свойството на описания четириъгълник сбора на основите е равен на сбора от бедрата, следователно целия периметър е $P = 2(a + b) = 50cm$.
Лицето и то е лесно - $S = \frac{a+b}{2}.h = 6.25 = 150cm^2$