Триъгълник вписан в окръжност

[Гост]

1. В равностранен ∆ABC точките O1, O2 и O3 са центровете съответно на външно вписаните окръжности, които се допират до страните BC, CA и AB. Ако периметъра на ∆ABC e 33 cm, намерете периметъра на триъгълник О1О2О3. Отг. 66 см
2. В равностранен ∆ABC точките O1, O2 и O3 са центровете съответно на външно вписаните окръжности, които се допират до страните BC, CA и AB. Ако периметъра на триъгълник O1O2O3 е 52 cm, намерете периметъра на триъгълник ABC. Отг. 26 см

[Davids]

1. В равностранен ∆ABC точките O1, O2 и O3 са центровете съответно на външно вписаните окръжности, които се допират до страните BC, CA и AB. Ако периметъра на ∆ABC e 33 cm, намерете периметъра на триъгълник О1О2О3. Отг. 66 см

Ключът към решението е да докажем, че $О_1АО_2$ лежат на една права (т.е. аналогично за всики центрове на двойките окръжности, описани външно към две от страните на триъгълника, и точката, в която тези две страни се пресичат). Става лесно:
Центърът на външновписаните окръжности лежи на пресечната точка на ъглополовящите на външните ъгли (в случая външния на $\angle BAC$ и външния на $\angle BCA$). Тогава $\angle O_1AC = \angle O_1CA = \frac{180 - 60}{2} = 60$. Така имаме $\angle O_1AO_2 = \angle O_1AC + \angle CAB + \angle BAO_2 = 3.60 = 180^{\circ}$ и така $O_1AO_2$ дефинират права. И сега вече от вече споменатите външни половинки ъгли по 60 градуса лесно се доказва, че радиусът на окръжностите е равен на траната на триъгълника, т.е. $O_1A = AO_2 = 11$ и така едната страна на големия триъгълник става 22, откъдето и цялата му обиколка е 66см.