Четириъгълник

[Гост]

1. Даден е трапец ABCD (AB//CD), който AD е перпендикулярна на AB и ъгъл BCD=150 градуса. Да се намери лицето на трапеца, ако в него е вписана окръжност с радиус r=2 cm.
2. Диагоналът AC на четириъгълника ABCD e ъглополовяща на ъглите му <BAD и <BCD и пресича BD в т.М
а) Докажете, че четириъгълника ABCD може да се впише окръжност
б) Около триъгълник DBC е описана окръжност със център О и радиус r, а точката G е медицентър на този триъгълник. Да се намери дължината на отсечката OG, ако CM=9 см, а r=4 см.

[Davids]

1. Даден е трапец ABCD (AB//CD), който AD е перпендикулярна на AB и ъгъл BCD=150 градуса. Да се намери лицето на трапеца, ако в него е вписана окръжност с радиус r=2 cm.

От радиуса директно изразяваме $h = 2r = 4cm$. Само че, ако спуснем височина $CH = h$, получаваме правоъгълен $\Delta BCH$ с ъгъл $\angle HBC = 180 - 150 = 30^{\circ}$, следователно бедрото $BC = 2.CH = 2h = 8$.
Сега остана да съобразим, че поради вписаната окръжност, имаме свойството на описания четириъгълник: $AB + CD = AD + BC = h + 2h = 3h = 12$ ни е сбора от основите. И лицето стана лесно: $S = \frac{a + b}{2}.h = \frac{12}{2}.4 = 24cm^2$

А за втора задача така на първо четене като я гледам, ми се струва недефиниран този четириъгълник спрямо условието на а), което искат да се докаже. Че така големината на равните половинки ъгли може да варира, което далеч не винаги ще съответства на окръжността, която може да се опише с диаметър фиксирана дължина на $AC$.

[123a]

А за втора задача така на първо четене като я гледам, ми се струва недефиниран този четириъгълник спрямо условието на а), което искат да се докаже. Че така големината на равните половинки ъгли може да варира, което далеч не винаги ще съответства на окръжността, която може да се опише с диаметър фиксирана дължина на $AC$.

Тук става въпрос да се докаже, че в четириъгълника може да се впише окръжност. Което пък следва от факта, че [tex]\triangle[/tex]$ADC$ и $\triangle$$ABC$ са равнобедрени и $AB+CD=AD+BC$