Задача 8 клас

[selin.ilhan14]

Триъгълник ABC е вписан в окръжност. Допирателната към окръжността в точката B пресича правата AC в точка P. Намерете ъглите на триъгълника, ако [tex]\angle[/tex]BAC=40[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]APB=20[tex]^\circ[/tex].

[Петър Евгениев]

Триъгълник ABC е вписан в окръжност. Допирателната към окръжността в точката B пресича правата AC в точка P. Намерете ъглите на триъгълника, ако [tex]\angle[/tex]BAC=40[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]APB=20[tex]^\circ[/tex].

[tex]\angle APB[/tex] какъв е?
Ами той е външен ъгъл за окръжност. " Ъгъл, чийто връх е външна точка за окръжността, а раменете му я пресичат или се допират до нея "
Освен това той е равен на полуразликата на дъгите, които отсича(първо е по-голямата).
Тоест [tex]\angle APB=\frac{\widehat{AB}-\widehat{BC}}{2}[/tex], но пък него го знаем от условието колко градуса е т.е
$$\angle APB=\frac{\widehat{AB}-\widehat{BC}}{2} \Leftrightarrow 20^\circ=\frac{\widehat{AB}-\widehat{BC}}{2}$$
[tex]\angle BAC[/tex] се явява какъв ъгъл?
Вписан ъгъл.
Какво знаем за вписаните ъгли?
Те са равни на половинката от съответната им дъга.
Тоест [tex]\angle BAC=40^\circ=\frac{\widehat{BC}}{2} \Rightarrow \widehat{BC}=2.40^\circ=80^\circ[/tex]
От преди малко:[tex]...20^\circ=\frac{\widehat{AB}-\widehat{BC}}{2}[/tex]
замествам дъгата [tex]BC[/tex], която току що намерих.
$$20^\circ=\frac{\widehat{AB}-\widehat{BC}}{2} \Leftrightarrow 20^\circ=\frac{\widehat{AB}-\widehat{80^\circ}}{2}$$
От последното намираме дъгата [tex]AB[/tex]
$$...20^\circ=\frac{\widehat{AB}-\widehat{80^\circ}}{2} \Rightarrow \widehat{AB}=120^\circ$$
Знаем вече [tex]\widehat{BC},\widehat{AB}[/tex]
Ъглите, които търсим са:[tex]\angle ACB, \angle ABC[/tex]
И двата ъгъла са вписани т.е.
[tex]\angle ACB=\frac{\widehat{AB}}{2}=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ \Rightarrow \boxed{\angle ACB=60^\circ}
\angle ABC=\frac{\widehat{AC}}{2}[/tex], как ще намерим [tex]\widehat{AC}[/tex]?
Лесно:[tex]\widehat{AB}+\widehat{BC}+\widehat{AC}=360^\circ \Rightarrow 120^\circ+80^\circ+\widehat{AC}=360^\circ \Rightarrow \widehat{AC}=160^\circ[/tex]
И от по-горе [tex]...\angle ABC=\frac{\widehat{AC}}{2}=\frac{160^\circ}{2}=80^\circ \Rightarrow \boxed{\angle ABC=80^\circ}[/tex]

Webp.net-resizeimage (1).png (46.96 KiB) Прегледано 1546 пъти

[tex]\rule{8cm}{0.4pt}[/tex]
Ако имаш накакъв въпрос или някой забележи, че в бързане нещо съм оплескал може да го подчертае на ЛС.
Късмет!