Триъгълник

[selin.ilhan14]

В триъгълник ABC, с ъгли [tex]\angle[/tex]BAC=120[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]ABC=25[tex]^\circ[/tex], точка H е ортоцентър. Ъгъл [tex]\angle[/tex]HAB е равен на колко?

[Nathi123]

Нека [tex]CC_{1 }\bot AB; BB_{1 }\bot AC ; CC_{1 }\cap BB_{1 }=H-[/tex] ортоц. в триъг. АВС. [tex]\angle BAC=120^\circ \Rightarrow \angle BAB_{1 }=60^\circ \Rightarrow \angle B_{1 }BA=30^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle B_{1 }BC=\angle B_{1 }BA+\angle ABC=25^\circ+30^\circ =55^\circ[/tex]
От точките [tex]B_{1 } и C_{1 }[/tex] отсечката ВС се вижда под прав ъгъл [tex]\Rightarrow BCC_{1 }B_{1 }[/tex] е вписан в окръжност
[tex]\Rightarrow \angle HC_{1 }B_{1 }+\angle CC_{1 }B_{1 }=\angle CC_{1 }B_{1 } + \angle B_{1 }BC = 180^\circ \Rightarrow \angle HC_{1 }B_{1 }=\angle B_{1 }BC = 55^\circ[/tex]
[tex]\angle HC_{1 }A + \angle HB_{1 }A=90^\circ + 90^\circ =180^\circ \Rightarrow AC_{1 }HB_{1 }[/tex] вписан в окръжност
[tex]\Rightarrow \angle HC_{1 }B_{1 }=\angle HAB_{1 }= \frac{1}{2}дъгата HB_{1 } = 55^\circ[/tex].
[tex]\angle HAB= \angle HAB_{1 } + \angle B_{1 }AB = 55^\circ + 60^\circ = 115^\circ[/tex].