Четириъгълник вписан в окръжност

[brnabell]

В окръжност k(O, r) е вписан четириъгълник ABCD (AB=AD, BC=CD) и равнобедрен [tex]\triangle[/tex]ABF(AB=BF). Ако [tex]\angle[/tex]AFB=80[tex]^\circ[/tex], намерете мярката на ъгъла между хордите AD и BF.

[Davids]

Първо трябва да отбележим, че $AC$ е диаметъра на окръжността (ако имаш нужда от помощ с доказването на това твърдение, пиши, но мисля, че ще можеш и сам/а ). Тогава $\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$.

Понеже $\Delta AFB$ е равнобедрен, то $\angle AFB = \angle FAB = 80^{\circ}$. Само че $\angle AFB = \angle ACB = 80^{\circ}$, тъй като са вписани ъгли срещу една и съща дъга $\overline{AB}$. И след като $\angle ACB = 80^{\circ}$, то $\angle BAC = \angle CAD = 90 - 80 = 10^{\circ}$.
Тогава $\angle DAF = \angle BAF - 2.\angle BAC = 80 - 2.10 = 60^{\circ}$
И ако пресечната точка на $ADxBF = M$, то $\angle FMA = 180 - (80 + 60) = 40^{\circ}$ и съседният му е $140^{\circ}$