Правоъгълен трапец. 8клас

[Гост]

Здравейте и моля за помощ. Задачата е от преговора за 8 клас, в учебника на Анубис.

Даден е правоъгълен трапец АВСД , като ъгъл АВС=60°. Диагоналът АС разположена тъпия ъгъл на трапец,а отсечката ,съединяват средите на диагоналите е 2 см. Намерете основите и диагонала АС.

[ева]

Разбирам условието така:
...Диагоналът АС разполовява тъпия ъгъл на трапеца,а отсечката,която съединява средите на диагоналите е 2 см.
AB=a=? CD=b=? AC=c=?
Нека т.М,т.Р и т.Т са среди съответно на AC,BD,BC. (т.Р лежи на отсечката МТ) ; МР=2 см.,РТ=[tex]\frac{CD}{2}[/tex]=[tex]\frac{b}{2}[/tex]
(защото РТ е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]BCD)
МТ е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\Rightarrow[/tex] МТ=[tex]\frac{АВ}{2}[/tex] т.е. 2+[tex]\frac{b}{2}[/tex]=[tex]\frac{a}{2}[/tex] /.2 получаваме b=a-4 (1)
Тъй като AB e успоредна на CD и [tex]\angle[/tex]АВС=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] прилежащия му [tex]\angle[/tex]BCD=120[tex]^\circ[/tex].AC разполовява този ъгъл т.е.[tex]\angle[/tex]ACB=[tex]\angle[/tex]ACD=60[tex]^\circ[/tex]
(в [tex]\triangle[/tex]АВС)[tex]\angle[/tex]ACB=60[tex]^\circ[/tex],знаем [tex]\angle[/tex]АВС=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВАС=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВС е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex] c=AC=AB=a получихме : с=а (2)
Преди малко док.,че [tex]\angle[/tex]ACD=60[tex]^\circ[/tex],(разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ACD) [tex]\angle[/tex]DAC=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-60[tex]^\circ[/tex]=30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] CD=[tex]\frac{AC}{2}[/tex] т.е. b=[tex]\frac{c}{2}[/tex] (3)
[ зам.(2) в (3) ] b=[tex]\frac{a}{2}[/tex] (4) [сега зам.(4) в (1) ] [tex]\frac{a}{2}[/tex]=а-4 [tex]\Rightarrow[/tex] а=8 см.
(връщаме се към (1)) b=8-4=4 см. (връщаме се към (2) ) с=8 см.

отг.AB=8 см. ,CD=4 см. ,AC=8 см.

[Гост]

Много ви благодаря за отговора.
Само още един въпрос - от къде става ясно, че т.М, Р, Т лежат на една права.Аз се мъчих там с един триъгълник МРТ и не стигнах доникъде . Благодаря ви предварително.

[Davids]

Много ви благодаря за отговора.
Само още един въпрос - от къде става ясно, че т.М, Р, Т лежат на една права.Аз се мъчих там с един триъгълник МРТ и не стигнах доникъде . Благодаря ви предварително.

Доказва се със средни отсечки от триъгълниците $ABD$ и $ABC$, комбинирано със средната отсечка в трапеца. Ако пак не можеш да се ориентираш, кажи, ще го разпишем. Само давам жокер, гледам, мислещо дете си

[Гост]

Благодаря! Да, защото и трите средни са успоредни на основата ,а и двете крайни точки съвпадат. Как не се сетих.
Благодаря