Вписани и описани многоъгълници 8 клас

[Гост]

Хордите АВ и CD в окръжност k с център О се пресичат в точка Р и са перпендикулярни. Точката М е среда на АВ, а точката N е среда на CD. Ако АР : РВ = 4 : 1, ОМ : ON = 2 : 1 cm, DP > PC и РС = 1 cm и Р на PMON = 18 cm, намерете дължините на хордите АВ и CD.

[ева]

Нека АР=4х,ВР=х,ОМ=2у,ON=у
АВ=5х=? CD=?
т.М е среда на АВ [tex]\Rightarrow[/tex] ОМ[tex]\bot[/tex]АВ
т.N е среда на CD [tex]\Rightarrow[/tex] ON[tex]\bot[/tex]CD
(дадено е) AB[tex]\bot[/tex]CD
В четириъг. MPNO трите му ъгъла са по 90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]MON=360[tex]^\circ[/tex]-3.90[tex]^\circ[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] MPNO е правоъгълник (1)
P(MPNO)=18 ; 2(OM+ON)=18; 2у+у=9; у=3 см.;тогава PN=2у=6 см. (2)
от (1) [tex]\Rightarrow[/tex] PN=OM=2у ;CD=2CN=2(CP+PN) (виж (2) )=2(1+6)=14 получихме CD=14 см. (3)
Хордите AB и CD се пресичат в т.Р [tex]\Rightarrow[/tex] AP.BP=CP.DP ; 4х.х=CP(CD-CP) ( виж (3) )
4[tex]x^{2}[/tex]=1(14-1) ... х=[tex]\frac{\sqrt{13}}{2}[/tex],тогава АВ=5х=2,5[tex]\sqrt{13}[/tex] см.
отг.АВ=2,5[tex]\sqrt{13}[/tex] см.,CD=14 см.