Вписан четириъгълник

[Ivana_petkova]

Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност k. Окръжност k1 с диаметър AB и окръжност k2 с диаметър ВС се пресичат втори път в точка Е. Ако k1 и k2 пресичат отново АD и CD в точки M и N, докажете,че трите точки M, N и Е лежат на една права.

[S.B.]

Без заглавие (85).png (410.71 KiB) Прегледано 185 пъти

Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност k. Окръжност k1 с диаметър AB и окръжност k2 с диаметър ВС се пресичат втори път в точка Е. Ако k1 и k2 пресичат отново АD и CD в точки M и N, докажете,че трите точки M, N и Е лежат на една права.

Нека [tex]\angle BAD = \alpha , \angle BCD = \beta[/tex]
[tex]ABCD[/tex] - вписан $\Rightarrow \alpha + \beta = 180^\circ$
$ABEM$ - вписан $\Rightarrow \alpha + \angle BEM = 180^\circ \Rightarrow \angle BEM = \beta$
$\angle NCB$ съседен на $\angle BCD= \beta \Rightarrow \angle NCB = \alpha = \frac{д.BN}{2}$
$\angle BEN = \frac{д.BN}{2} \Rightarrow \angle BEN = \alpha$
$\angle MEB + \angle NEB = \beta + \alpha = 180^\circ $
За $\angle MEB $ и $\angle NEB$ - имат общо рамо $BE$ и другите има две рамена са продължения едно на друго ,сборът им е $180^\circ \Rightarrow$ са съседни $\Rightarrow$ точките $ M,E,N $ лежат на една права.