Лице на правоъгълен триъгълник

[Гост]

Моля за помощ за следната задача - за входно ниво за 8 клас:
Намерете лицето на правоъгълен триъгълник, на който хипотенузата е равна на 15 см, а разстоянието от пресечната точка на двете ъглополовящи /от двата ъгъла, различни от 90 градуса/ до хипотенузата е 3 см.

[Гост]

Здравейте отново,
Успях да се справя - като прекарах височини към катетите от пресечната точка на ъглополовящите. Те са равни също на 3 см и от тях се образува горе един квадрат, чието лице лесно се намира.
В същото време при хипотенузата намираме лицето на триъгълника и го умножаваме по 2 - защото имаме по 2 еднакви триъгълника от двете страни. Съжалявам, че нямам възможност да го начертая, за да го обясня нагледно.

[S.B.]

Здравейте отново,
Успях да се справя - като прекарах височини към катетите от пресечната точка на ъглополовящите. Те са равни също на 3 см и от тях се образува горе един квадрат, чието лице лесно се намира.
В същото време при хипотенузата намираме лицето на триъгълника и го умножаваме по 2 - защото имаме по 2 еднакви триъгълника от двете страни. Съжалявам, че нямам възможност да го начертая, за да го обясня нагледно.

Здравейте!Правилно сте постъпили.Ако във вашия [tex]\triangle ABC ,(\angle C = 90^\circ)[/tex],са построени ъглополовящите на [tex]\angle A и \angle B[/tex] и те се пресичат в т.[tex]O[/tex] ,то тя принадлежи на всяка от ъглополовящите ,а според Теоремата - свойство,която се изучава в 7 клас, всяка т. от ъглополовящата е на равни разстояния от раменете на ъгъла.Ако построите [tex]OM \bot AB ,ON \bot BC и OP \bot AC[/tex] тогава [tex]OM = ON = OP = 3 см[/tex].Фигурата [tex]ONCP[/tex] има 3 прави ъгъла и равни съседни страни [tex]\Rightarrow[/tex] е квадрат,лицето на който е 9.Правилно сте забелязали,че [tex]\triangle PAO \cong \triangle AMO и \triangle MBO \cong \triangle NBO[/tex] или общо лицето на останалата част е [tex]2.S_{ABO } = 2.\frac{15.3}{2} = 45[/tex] или [tex]S_{ABC } = 45 + 9 = 54[/tex]
Всичко това Ви разказвам за да ви обясня защо тази задача е входно ниво за 8 клас.Съвсем скоро Вашето дете ще научи,че пресечната точка на ъглополовящите е център на вписаната в триъгълника окръжност,а разстоянието до страните е радиус на тази окръжност - [tex]r[/tex] и ако означите хипотенузата [tex]c[/tex] ,то полупериметърът ще бъде [tex]p = c + r = 15 + 3 = 18[/tex], a [tex]S_{ABC } = p.r = 18.3 = 54[/tex].Тази задача е включена към входното ниво,за да послужи като основа за новите неща,които детето Ви ще научи в 8 клас.

[Martin77]

Здравейте!
Имам нужда от помощ за следната задача:
Даден е равнобедрен триъгълник АBC с лице 24 см2 и основа АВ. Ъгълът АСВ е остър и има синус 0,6. Намерете радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

[S.B.]

Здравейте!
Имам нужда от помощ за следната задача:
Даден е равнобедрен триъгълник АBC с лице 24 см2 и основа АВ. Ъгълът АСВ е остър и има синус 0,6. Намерете радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

Нека въведем следните означения за равнобедрения [tex]\triangle ABC[/tex]: бедрата [tex]AC = BC =b[/tex] , основата [tex]AB = a[/tex] [tex]\angle ACB = \gamma[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{b^{2}sin\gamma}{2} \Rightarrow 24 = \frac{b^{2}.0,6}{2} \Rightarrow b^{2} = 80[/tex] или [tex]b = 4\sqrt{5}[/tex]
За триъгълника прилагаш косинусова теорема за да намериш основата.За целта първо намираш [tex]cos\gamma = \sqrt{1 - sin^{2}\gamma} = 0,8[/tex]
[tex]a^{2} = b^{2} + b^{2} - 2.b.b.cos\gamma \Leftrightarrow a^{2} = 2b^{2}(1 - 0,8)\Leftrightarrow a^{2} = 2.(4\sqrt{5})^{2}.0,2 = 32[/tex] или [tex]a = 4\sqrt{2}[/tex]
Прилагаш синусова теорема :[tex]\frac{a}{sin\gamma} = 2R[/tex] или [tex]\frac{4\sqrt{2}}{0,6} = 2R[/tex]; За по лесни сметки [tex]0,6=\frac{3}{5}[/tex] и тогава [tex]4\sqrt{2} : \frac{3}{5} = 2R \Leftrightarrow \frac{20\sqrt{2}}{3} = 2R \Rightarrow R = \frac{10\sqrt{2}}{3}[/tex]