Задача по математика за 8 клас

[Валентина]

Точките P и Q са средите на две произволни отсечки АВ и СД. Да се докаже че точка А, средата Е на отсечка PQ и медицентърът G в триъгълника ВСД лежат на една права

[Добромир Глухаров]

С вектори се решава примерно така:

Нека $\vec{AB}=\vec{a};\ \vec{AC}=\vec{b};\ \vec{CD}=\vec{c}$

Изразяваме:

$\vec{AP}=\frac{1}{2}\vec{a}$
$\vec{AQ}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$
$\vec{AE}=\frac{1}{2}(\vec{AP}+\vec{AQ})=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$
И, понеже $G$ е медицентър, тя дели медианата $BQ$ в отношение $2:1$, т.е.:
$\vec{AG}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AQ}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$

Сега, като погледнем вниматално изразите за $\vec{AE}$ и $\vec{AG}$, виждаме, че $\vec{AG}=\frac{4}{3}\vec{AE}$, което означава, че точките $A,E,G$ лежат на една права.

[S.B.]

С вектори се решава примерно така:

Да ,сигурно това е най - правилното решение,тъй като (до колкото разбирам от фоума) в 8 клас сега се занимават с вектори.И все пак ми се иска да представя и друго решение,въпреки,че не съм сигурна дали в 8 клас вече са запознати с необходими учебен материал.
Нека [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] са дадените произволни отсечки,като [tex]P \in AB , AP = PQ = x[/tex] , [tex]Q \in CD , CQ = QD[/tex] , [tex]E \in PQ ,PE = EQ = y[/tex]
Построявам медианата [tex]BQ[/tex] в [tex]\triangle BCD[/tex]
Построявам единствената права l през точките [tex]A[/tex] и [tex]E[/tex] ,която пресича [tex]BQ[/tex] в точка [tex]G[/tex]
Ще докажем,че [tex]G[/tex] е медицентър в [tex]\triangle BCD[/tex]
За [tex]\triangle PBQ[/tex] и правата [tex]l \equiv AG[/tex] прилагам теоремата на Менелай (която не съм сигурна дали се изучава в 8 клас във всички училища!):
[tex]\frac{AB}{BP}.\frac{PE}{EQ}. \frac{QG}{GB} = 1[/tex] или [tex]\frac{2x}{x}.\frac{y}{y}.\frac{QG}{GB} = 1 \Rightarrow 2.\frac{QG}{GB} = 1[/tex] или [tex]\frac{QG}{GB} = \frac{1}{2}[/tex] , но [tex]QB[/tex] е медиана в [tex]\triangle BDC , G \in QB \Rightarrow G[/tex] е медицентър ,който [tex]\in l \Rightarrow A , E , G[/tex] лежат на една права.

[Knowledge Greedy]

Предлагам още едно решение на всички, които усещат равновесието на система от материални точки, изразено със закона на Архимед.
Ето системата, преди да разположим тежестите.

В началото всичко бе леко.png (6.73 KiB) Прегледано 331 пъти

А сега да разположим тежести в точките (Да раздадем на точките маси.).

Решение с материални точки.png (6.45 KiB) Прегледано 331 пъти

Ако точките [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] имат маси по [tex]1[/tex] -ца, в тяхната среда [tex]P[/tex] ще се е концентрирала маса [tex]2[/tex].
Същото важи и за друга подсистема - точките [tex]C[/tex] и [tex]D[/tex], и техния масов център [tex]Q[/tex](познат и като център на тежестта).
Забележете колко естествено в точката [tex]E[/tex] се концентрира масата [tex]4[/tex] на точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] - та нали тя е техен масов център!

Да погледнем на нашата система от материални точки от друга страна - с първоначално групиране на три от тях [tex]B, C[/tex] и [tex]D[/tex].
Т. е. системата е [tex]1B, 1C[/tex] и [tex]1D[/tex].
Със сигурност имаме млади приятели, които с увереност ще кажат къде се концентрира масата [tex]3[/tex] от върховете. Да, в медицентъра [tex]G[/tex] на триъгълника [tex]\triangle BCD[/tex].
Сега вече нашата система от материални точки [tex]\left \{ 1A,1B, 1C, 1D \right \}[/tex] е добила нов вид [tex]\left \{ 1A,3G \right \}[/tex] и нейният масов център би трябвало да е също [tex]4Е[/tex], защото е в сила законът за запазване на масата на телата.

А геометричната част на нашето разсъждение показва, че точката [tex]E[/tex] е върху правата [tex]AG[/tex], като при това [tex]AE:EG=3:1[/tex].

На практика това е решението на Добромир, само че погледнато през други ... очила