Помощ за задача с вектори

[Гост]

Точките M и N са средите съответно на страните AB и CD на четириъгълника ABCD. Ако точка S е средата на отсечката MN, а O е произволна точка, докажете, че [tex]\vec{OS}[/tex]= [tex]\frac{1}{4}[/tex] ( [tex]\vec{OA}[/tex] + [tex]\vec{OB}[/tex] + [tex]\vec{OC}[/tex] + [tex]\vec{OD}[/tex] )

[ева]

Нека точките Р,Е и Т са такива,че АРВО, OCED и OMTN са успоредници (1)

Скрит текст: покажи

Ще тръгнем от дясната страна на тъждеството и ще стигнем до лявата.

[tex]\frac{1}{4}[/tex]([tex]\vec{OA}[/tex]+[tex]\vec{OB}[/tex]+[tex]\vec{OC}[/tex]+[tex]\vec{OD}[/tex])=

=[tex]\frac{1}{4}[/tex][([tex]\vec{OB}[/tex]+[tex]\vec{BP}[/tex])+([tex]\vec{OC}[/tex]+[tex]\vec{CE}[/tex])]=

=[tex]\frac{1}{4}[/tex]([tex]\vec{OP}[/tex]+[tex]\vec{OE}[/tex])=[tex]\frac{1}{4}[/tex](2[tex]\vec{OM}[/tex]+2[tex]\vec{ON}[/tex])=

Скрит текст: покажи

Защото точките M,N са среди на диагоналите-виж (1)

=[tex]\frac{1}{2}[/tex]([tex]\vec{OM}[/tex]+[tex]\vec{MT}[/tex])=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\vec{OT}[/tex]=

=[tex]\vec{OS}[/tex]

[Гост]

4.

5. Точките М и N са среди на страните AB и CD на четириъгълника ABCD
Докажете, че: а) MN = (AD+BC); 6) MN = (AC + BD