Средна отсечка в триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник АВС. АС е различна от ВС.,СН е височина и точките М,N и Р са среди съответно на АС, ВС и АВ. Да се докаже, че МNHP е равнобедрен трапец

Даден е тригълник АВС, за който СА:АВ:ВС=3:4:5. През средата Р на медианата СМ е построена права, успоредна на АС, която пресича АВ в точка Q, а точка Д е среда на ВМ. Периметърът на РQД е 24 см. Намерете QK, ако правите QP и ВС се пресичат в точка К

[S.B.]

Даден е триъгълник АВС. АС е различна от ВС.,СН е височина и точките М,N и Р са среди съответно на АС, ВС и АВ. Да се докаже, че МNHP е равнобедрен трапец

[tex]\triangle ABC , AC \ne BC[/tex] нека [tex]AC > BC , CH\bot AB[/tex] и [tex]H \in PB[/tex] (вътрешна за [tex]PB[/tex])
От [tex]M -[/tex] среда на [tex]AC[/tex] и [tex]N -[/tex] среда на [tex]BC \Rightarrow MN[/tex] е средна отсечка и [tex]\Rightarrow MN[/tex] II [tex]AB[/tex] и [tex]MN = \frac{1}{2}AB[/tex];
От [tex]P \in AB[/tex] и [tex]H \in AB[/tex] и [tex]AB[/tex] II [tex]MN \Rightarrow PH[/tex] II [tex]MN[/tex]
[tex]PB = \frac{1}{2}AB,H \in PB \Rightarrow PH < \frac{1}{2}AB \Rightarrow PH<MN (PH\ne MN)[/tex]
[tex]\Rightarrow MPHN[/tex] е трапец;
От [tex]M -[/tex] среда на [tex]AC[/tex] и [tex]P -[/tex] среда на [tex]AB \Rightarrow MP[/tex] е средна отсечка и [tex]MP = \frac{1}{2}BC[/tex]
От [tex]\triangle HBC ,[/tex] правоъгълен [tex]HN -[/tex] медиана [tex](N -[/tex]среда на [tex]BC)[/tex][tex]\Rightarrow HN = \frac{1}{2} BC[/tex]
[tex]\Rightarrow MP = HN = \frac{1}{2}BC \Rightarrow MPHN[/tex] е равнобедрен трапец.

[S.B.]

Даден е тригълник АВС, за който СА:АВ:ВС=3:4:5. През средата Р на медианата СМ е построена права, успоредна на АС, която пресича АВ в точка Q, а точка Д е среда на ВМ. Периметърът на РQД е 24 см. Намерете QK, ако правите QP и ВС се пресичат в точка К

От [tex]AC : AB : BC = 3 : 4 : 5 \Rightarrow AC = 3x ,AB = 4x , BC = 5x[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle AMC : Q -[/tex] среда на [tex]AM ,P -[/tex]среда на [tex]CM \Rightarrow QP -[/tex] средна отсечка и [tex]QP = \frac{1}{2}AC = \frac{3x}{2}[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle MBC : D -[/tex] среда на [tex]MB , P -[/tex] среда на [tex]CM \Rightarrow DP -[/tex] средна отсечка и [tex]PD = \frac{1}{2}CB = \frac{5x}{2}[/tex]
[tex]QM = \frac{1}{2}AM ,MD = \frac{1}{2}MB , AM = MB = \frac{1}{2}AB \Rightarrow QM = MD = \frac{1}{4} AB \Rightarrow QD = \frac{1}{2}AB = \frac{4x}{2}[/tex]
[tex]P_{QDP } = QD + DP + QP = \frac{3x}{2} + \frac{5x}{2} + \frac{4x}{2} = 24 \Rightarrow \frac{12x}{2} = 24[/tex] от където [tex]x = 4[/tex]
Получаваме съответно :[tex]AC = 12 , BC = 20 ,AB = 16[/tex]
От [tex]QP -[/tex] средна отсечка в [tex]\triangle AMC \Rightarrow QP = \frac{1}{2} AC = 6[/tex]
В [tex]\triangle ABC[/tex] построяваме права [tex]l[/tex] през [tex]т.M[/tex] такава че [tex]l[/tex] II [tex]AC[/tex] и [tex]l \cap BC = т.L[/tex]
[tex]т.M[/tex] е среда на [tex]AB , l[/tex] II [tex]AC \Rightarrow т.L[/tex] е среда на [tex]BC[/tex] и [tex]ML[/tex] е средна отсечка [tex]LM = \frac{1}{2}AC = 6[/tex]
[tex]QP \cap BC = K , QP[/tex] II [tex]AC \Rightarrow PK[/tex] II [tex]AC[/tex], но [tex]AC[/tex] II [tex]ML \Rightarrow PK[/tex] II [tex]ML[/tex]
В [tex]\triangle CML ,т.P -[/tex] среда на [tex]CM , PK[/tex] II [tex]ML \Rightarrow т.K[/tex] е среда на [tex]CL \Rightarrow PK[/tex] е средна отсечка и [tex]PK = \frac{1}{2} ML = 3[/tex]
[tex]\Rightarrow QK = QP + PK = 6 + 3 = 9[/tex]

[S.B.]

Само преди седмица аз реших същата задача