Трапец

[Гост]

Точките М и Н са среди съответно на основите АВ и СД на трапеца АВСД. Точките Р и Q лежат на основата АВ така,че РН || АД и QN || BC. Да се докаже, че:
а) PQ=AB-CD
b) MN - медиана в триъгълника PQN

[S.B.]

Точките М и Н са среди съответно на основите АВ и СД на трапеца АВСД. Точките Р и Q лежат на основата АВ така,че РН || АД и QN || BC. Да се докаже, че:
а) PQ=AB-CD
b) MN - медиана в триъгълника PQN

Даден е трапец [tex]ABCD[/tex] , точки [tex]M , N[/tex] - среди съответно на [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex]; Точки [tex]P , Q \in AB[/tex] такива,че [tex]PN[/tex] II [tex]AD[/tex] и [tex]QN[/tex] II [tex]BC[/tex];
а) Ще докажем че [tex]PQ = AB - DC[/tex]
От [tex]AP[/tex] II [tex]DN[/tex] и [tex]AD[/tex] II [tex]PN \Rightarrow APND[/tex] е успоредник [tex]\Rightarrow AP = DN = \frac{1}{2}CD[/tex]
От [tex]QB[/tex] II [tex]NC[/tex] и [tex]QN[/tex] II [tex]BC \Rightarrow QBNC[/tex] е успоредник [tex]\Rightarrow QB = NC = \frac{1}{2}DC[/tex]
[tex]PQ = AB - (AP + QB) = AB - (\frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}CD) = AB - DC[/tex]
б)За да докажем,че [tex]MN[/tex] е медиана в [tex]\triangle PQN[/tex] ще трябва да докажем ,че [tex]PM = QM[/tex]
[tex]PM = AM - AP = \frac{1}{2}AB - \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}(AB - DC)[/tex]
[tex]QM = BM - QM = \frac{1}{2}AB - \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}(AB - DC)[/tex]
[tex]\Rightarrow PM = QM \Rightarrow NM[/tex] е медиана в [tex]\triangle PQN[/tex]