Моделиране с квадратни уравнения

[Гост]

Броят на върховете на многоъгълник е с 63 по-малко от броя на диагоналите му.Намерете броя на върховете на многоъгълника.

[Davids]

Броят на диагоналите на всеки $n$-ъгълник е равен на $\frac{n(n-3)}{2}$ (извеждането на тази формула е лесно и занимателно и наум, няма да се обяснявам ), следователно даденото ни придобива вида:
$n = \frac{n(n-3)}{2} - 63$
$n(n-3) - 2n = 126$
$n^2 - 5n - 126 = 0$

Единствен положителен цял корен е $n = 14$ и толкова са върховете на многоъгълника.

[Петър Евгениев]

Броят на диагоналите на всеки $n$-ъгълник е равен на $\frac{n(n-3)}{2}$ (извеждането на тази формула е лесно и занимателно и наум, няма да се обяснявам )(...)

При правилния многоъгълник имаме $n-$върха и $n-$страни. Две точки определят една права демек всички прави определени от множеството точки от $n-$ъгълника са [tex]C_{2}^{n}[/tex]. А диагоналите на $n-$ъгълинка са всички отсечки минус страните му: $C_{2}^{n}-n$
Тоест за броя на диагоналите имаме:
$$C_{2}^{n}-n=\frac{n(n-1)}{1.2}-n=\frac{n(n-1)-2n}{2}=\frac{n^{2}-n-2n}{2}=\frac{n^{2}-3n}{2}=\frac{n(n-3)}{2}$$

[Davids]

Алтернативен мисловен подход би бил и следният:
Всеки един от $n > 3$-те върха на $n$-ъгълника можем да свържем с всички други върхове, освен съседните му два, така, че да образуваме диагонал. Тоест останалите точки, с които можем да го свържем по този начин, са $n - 3$ на брой. И понеже операцията се повтаря в двете посоки, делим произведението на две и получаваме $\frac{n(n-3)}{2}$

[Гост]

2зад. Към произведението на две по- следователни естествени числа прибавих квадрата на по-малкото и получих 105. Намерете числата.