Диаметри и хорди в окръжност

[Гост]

Може ли някой да ми помогне със задачата?

Хорда пресича диаметър на окръжност под ъгъл [tex]45^\circ[/tex] и го дели на отсечки с дължина 6 см и 14 см. Намерете разстоянието от средата на хордата до диаметъра.

[Гост]

Направих и чертеж, но наистина не разбирам как трябва да стане доказателството.

geogebra1.png (127.54 KiB) Прегледано 1529 пъти

[Davids]

Ключовото в случая е, че отсечката от центъра на окръжност към средата на дадена хорда от нея й е перпендикулярна (радиус, перпендикулярен на хорда, я разполовява и обратното). Тогава $\triangle COF$ е правоъгълен И равнобедрен (поради дадения ъгъл). Оттам и $FH$ му се явява и височина (търсеното разстояние), и медиана, равна на $FH = \frac{1}{2}CO$. А пък $CO = AO - AC = \frac{AB}{2} - AC = \frac{AC + BC}{2} - AC = \frac{6 + 14}{2} - 6 = 4$, следователно $FH = 2$.

[KOPMOPAH]

Браво за чертежа!

[simona_ovcharova]

Ключовото в случая е, че отсечката от центъра на окръжност към средата на дадена хорда от нея й е перпендикулярна (радиус, перпендикулярен на хорда, я разполовява и обратното). Тогава $\triangle COF$ е правоъгълен И равнобедрен (поради дадения ъгъл). Оттам и $FH$ му се явява и височина (търсеното разстояние), и медиана, равна на $FH = \frac{1}{2}CO$. А пък $CO = AO - AC = \frac{AB}{2} - AC = \frac{AC + BC}{2} - AC = \frac{6 + 14}{2} - 6 = 4$, следователно $FH = 2$.

Благодаря ти!