Диаметър, перпендикулярен на хорда

[Гост]

1 зад:
Докажете,че ако през краищата на един диаметър прекараме успоредни хорди,тези хорди са равни.
___________
2 зад:
Докажете,че ако разстоянията от центъра на една окръжност до две нейни хорди са равни,то тези хорди са равни.
___________
3. зад:
Продълженията на 2 равни хорди АВ и CD на една окръжност се пресичат в точка Р ( В e между А и Р, D е между С и Р). Докажете че ВР=DP.
___________
Ще съм ви изключително благодарен,ако можете да ми помогнете! Спешно ми е! Благодаря предварително!!

[Гост]

Зад. 1
k(O;r) ; AB- диаметър; AC || BD
Разгл. ΔABC и ΔABD
1. ∠CAB = ∠DBA ;
2. ∠CBA = ∠DAB ;
3. AB - обща =>
ΔABC≅ΔABD ( po 2 priznak)
=> AC=BD

[Davids]

1. Нека другия край на тези хорди свържем с другия край на диаметъра и получим два правоъгълни триъгълника (понеже едната им страна е диаметър на описаната им окръжност), тогава от успоредността на двете хорди ще следва, че те ще имат равен остър ъгъл. Поради споделената хипотенуза, това ги прави и еднакви, следователно и бедрата им са еднакви, с което хордите са равни.

2. Ако свържем центъра с краищата на тези хорди, то ще получим равнобедрени триъгълници с бедра - радиуса на окръжноста, в които респективно и височините към основата са равни. Този трети равен метричен елемент е достатъчен и за доказване на тяхната еднаквост, ако разгледаме например правоъгълните триъгълници, на които височината разделя равнобедрения триъгълник. Следователно и основите на тези два еднакви равнобедрени триъгълника са равни.

3. Тук ще ползваме основното свойство на два лъча от една точка, пресичащи окръжност, в случая имащо вида:
$PB.PA = PD.PC$
$\Rightarrow PB(PB + AB) = PD(PD + CD)$
За улеснение ще отбележим $PB = x; PD = y$ и $AB = CD = a$
$\Rightarrow x(x + a) = y(y + a)$
$x^2 + ax = y^2 + ay$
$x^2 - y^2 = ay - ax$
$(x + y)(x - y) = -a(x - y)$

Решенията са две: $x - y = 0 \Rightarrow x = y$ и $x + y = - a$, от които само първото е смислено, следователно $x = y \Leftrightarrow PB = PD$.
П. П. Може да се докаже и с подобни триъгълници и отношения, което е по-лесното и интуитивно решение, но аз исках да изпробваме и горната идея

Скрит текст: покажи

И все пак да я решим и така:
Срещу равни хорди в окръжност лежат равни дъги, откъдето и в четириъгълника $ACDB$ имаме $\angle CAD = \angle ADB$ (вписани ъгли срещу равни дъги). Това значи, че $AC || BD$ и $ACDB$ е равнобедрен трапец. Оттам по Талес имаме $\triangle BDP \sim \triangle ACP \Rightarrow \frac{BD}{AC} = \frac{PB}{PA} = \frac{PD}{PC}$
От последното равенство достигаме до $PB.PC = PD.PA$, което в комбинация с горепосоченото основно $PB.PA = PD.PC$ води до еднозначно $PB = PD$

[Гост]

1. Нека другия край на тези хорди свържем с другия край на диаметъра и получим два правоъгълни триъгълника (понеже едната им страна е диаметър на описаната им окръжност), тогава от успоредността на двете хорди ще следва, че те ще имат равен остър ъгъл. Поради споделената хипотенуза, това ги прави и еднакви, следователно и бедрата им са еднакви, с което хордите са равни.

2. Ако свържем центъра с краищата на тези хорди, то ще получим равнобедрени триъгълници с бедра - радиуса на окръжноста, в които респективно и височините към основата са равни. Този трети равен метричен елемент е достатъчен и за доказване на тяхната еднаквост, ако разгледаме например правоъгълните триъгълници, на които височината разделя равнобедрения триъгълник. Следователно и основите на тези два еднакви равнобедрени триъгълника са равни.

3. Тук ще ползваме основното свойство на два лъча от една точка, пресичащи окръжност, в случая имащо вида:
$PB.PA = PD.PC$
$\Rightarrow PB(PB + AB) = PD(PD + CD)$
За улеснение ще отбележим $PB = x; PD = y$ и $AB = CD = a$
$\Rightarrow x(x + a) = y(y + a)$
$x^2 + ax = y^2 + ay$
$x^2 - y^2 = ay - ax$
$(x + y)(x - y) = -a(x - y)$

Решенията са две: $x - y = 0 \Rightarrow x = y$ и $x + y = - a$, от които само първото е смислено, следователно $x = y \Leftrightarrow PB = PD$.
П. П. Може да се докаже и с подобни триъгълници и отношения, което е по-лесното и интуитивно решение, но аз исках да изпробваме и горната идея

Скрит текст: покажи

И все пак да я решим и така:
Срещу равни хорди в окръжност лежат равни дъги, откъдето и в четириъгълника $ACDB$ имаме $\angle CAD = \angle ADB$ (вписани ъгли срещу равни дъги). Това значи, че $AC || BD$ и $ACDB$ е равнобедрен трапец. Оттам по Талес имаме $\triangle BDP \sim \triangle ACP \Rightarrow \frac{BD}{AC} = \frac{PB}{PA} = \frac{PD}{PC}$
От последното равенство достигаме до $PB.PC = PD.PA$, което в комбинация с горепосоченото основно $PB.PA = PD.PC$ води до еднозначно $PB = PD$

Тука доста ме затрудни..

[Davids]

Визуализирай и от многото приказки ще излязат ясни факти. Малко така е с елементарните задачи в математиката - колкото по-основно и просто е нещо, толкова по-трудно го описваме на математически причинно-следствен език. Поне по моите впечатления Пораздраскай съответните чертежи на хартия и ще ти станат ясни схемите.