Моделиране с дробни уравнения

[Гост]

1. Ако двуцифрено число разделим на сбора на цифрите му, се получава частно 4 и остатък 9. Кое е числото, ако цифрата на единиците е 7?
2.Числителят на една дроб е с 5 по- малък от знаменателя. Ако увеличим числителя с 13, а знаменателя намалим с 2, ще получиме дроб, която е реципрочна на първоначалната. Намерете дробите.
3. Двама програмисти разработват една програма за 20 дни. Ако работят самостоятелно, първият програмист ще разработи програмата 9 дни по-бързо от втория. За колко дни всеки от тях може да разработи програмата сам?

[S.B.]

1. Ако двуцифрено число разделим на сбора на цифрите му, се получава частно 4 и остатък 9. Кое е числото, ако цифрата на единиците е 7?

Нека цифрата на десетиците е $x , x \in (1,2,3,4,5,6,7,8,9)$ , тогава двуцифреното число е :$A = 10.x + 7$ ,
сбора от цифрите му е $x + 7$ ,частното е $4$ , а остатъка е [tex]\frac{9}{x + 7}[/tex]
Уравнението е :
[tex]\frac{10.x + 7}{x + 7} = 4 + \frac{9}{x + 7} \Leftrightarrow 10x + 7 = 4(x + 7) + 9 \Leftrightarrow 6x = 30 \Rightarrow x = 5[/tex]
Числото е : 5.10 + 7 = 57

[S.B.]

2.Числителят на една дроб е с 5 по- малък от знаменателя. Ако увеличим числителя с 13, а знаменателя намалим с 2, ще получиме дроб, която е реципрочна на първоначалната. Намерете дробите.

Първоначална дроб: [tex]\frac{x}{x + 5}[/tex] след измененито : [tex]\frac{x + 13}{x + 5 - 2} = \frac{x + 13}{x + 3}[/tex]
Уравнението е:Втората дроб е реципрочна на първата :
[tex]\frac{x}{x + 5} = \frac{x + 3}{x + 13} \Leftrightarrow x^{2} + 13x = x^{2} + 8x + 15 \Leftrightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3[/tex]
Дробите са $\frac{3}{8}$ , $\frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

[S.B.]

3. Двама програмисти разработват една програма за 20 дни. Ако работят самостоятелно, първият програмист ще разработи програмата 9 дни по-бързо от втория. За колко дни всеки от тях може да разработи програмата сам?

Ако вторият свършва сам работата за $x$ дена (като $x > 9$) ,то за един ден свършва [tex]\frac{1}{x}[/tex] от работата;
Първият свършва работата за 9 дни по-бързо $\Rightarrow$ за $x -9$ дни $\Rightarrow$ за 1 ден свършва $\frac{1}{x - 9}$ от работата;
Двамата заедно свършват работата за 20 дни $\Rightarrow$ за един ден свършват $\frac{1}{20}$ от работата;
Уравнението е:Работата за 1 ден на първия + работата за 1 ден на втория = работата за 1 ден заедно
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 9} = \frac{1}{20 } \Leftrightarrow ....x^{2} - 49x + 180 = 0 , D = 1681 = 41^{2} , x_{1 } = 4 < 9$ ,не е решение,$x_{2 } = 45$
Втория - 45 дни,Първия - 36 дни