Задача с окръжности

[Гост]

В [tex]\triangle[/tex]АВС (\angle С=90^\circ) отсечката СD=hc е височина. Ако r1, r2 и r3 са радиуси на вписаните окръжности съответно на \triangleADC, \triangleDBC и \triangleABC, докажете, че r1+r2+r3=hc.

[Евва]

Ще използвам формулата a+b=2r+2R ,която важи за правоъгълен тр-к . [ a,b-катети]

([tex]\triangle[/tex]ADC-правоъгълен ) AD+CD=2[tex]r_{1 }[/tex]+AC (1) [ AC=2R ]

([tex]\triangle[/tex]DBC-правоъгълен ) BD+CD=2[tex]r_{2 }[/tex]+BC (2) [ BC=2R ]

([tex]\triangle[/tex]ABC-правоъгълен ) AC+BC=2[tex]r_{3 }[/tex]+AB (3) [ AB=2R ]

Скрит текст: покажи

Събираме трите равенства.

AD+CD+BD+CD+AC+BC=2[tex]r_{1 }[/tex]+2[tex]r_{2 }[/tex]+2[tex]r_{3 }[/tex]+AC+BC+AB

AB+2CD+AC+BC=2([tex]r_{1 }[/tex]+[tex]r_{2 }[/tex]+[tex]r_{3 }[/tex])+AC+BC+AB |:2

[tex]r_{1 }[/tex]+[tex]r_{2 }[/tex]+[tex]r_{3 }[/tex]=CD=[tex]h_{c }[/tex]