Намерете острите ъгли

[Евва]

Намерете острите ъгли на [tex]\triangle[/tex]АВС ([tex]\angle[/tex]С=90[tex]^\circ[/tex]) , ако разстоянието от
медицентъра до АВ е два пъти по-малко от разстянието от медицентъра до единия от катетите .

[Михаил05]

Нека медианата да е CN , медицентъра - т.М , а разстоянията от него до AB и AC са съответно т.P и т.Q
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]CQM и [tex]\triangle[/tex]PMN
1.[tex]\frac{CM}{MN}[/tex] = [tex]\frac{MP}{MQ}[/tex] = [tex]\frac{2}{1}[/tex]
2.[tex]\angle[/tex]Q = [tex]\angle[/tex]P = 90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]CMQ [tex]\approx[/tex] [tex]\triangle[/tex]PMN [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ACN = [tex]\angle[/tex]PNM , но
[tex]\angle[/tex]ACN = [tex]\angle[/tex]A (CN = AN) [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ACN = [tex]\angle[/tex]ANC = [tex]\angle[/tex]A = 60[tex]^\circ[/tex]
Оттук [tex]\angle[/tex]A = 60[tex]^\circ[/tex] и съответно [tex]\angle[/tex]B = 30[tex]^\circ[/tex]

[Евва]

В 8 клас не са учили подобието на триъгълници .

[Евва]

Намерих задачата (зад.за 8 клас) в интернет .Стори ми се интересна ,защото имаше коментар към нея-все още не е решена .
Искате ли да пратя своето решение

[S.B.]

Без заглавие (53).png (211.19 KiB) Прегледано 463 пъти

Намерете острите ъгли на [tex]\triangle[/tex]АВС ([tex]\angle[/tex]С=90[tex]^\circ[/tex]) , ако разстоянието от
медицентъра до АВ е два пъти по-малко от разстянието от медицентъра до единия от катетите .

Нека [tex]\angle B = \beta,MC -[/tex]медиана $\Rightarrow MB = MC \Rightarrow \angle MCB = \beta$
Нека т.$G$ е медицентър $ MG = \frac{1}{3} MC ,GC = \frac{2}{3}MC$
Нека $GP \bot AB , GQ \bot BC,GQ = 2GP$ , $GP = x ,GQ = 2x$
Нека т.$L$ е среда на $GQ$
Построявам права $p$ ,[tex]\begin{cases} p Z L \\ p || BC \\p\cap GC = K \end{cases} \Rightarrow K[/tex] е среда на $GC$,$GK = \frac{1}{3} MC$
$\triangle MPG \cong \triangle LKG$ ( по катет и хипотенуза) $\Rightarrow \angle GMP = \angle GKL = \beta$
Тогава $\triangle MBC$ е равностранен и $\beta = 60^\circ$ $$\angle A= 30^\circ ,\angle B = 60^\circ$$

[Евва]

Нека т.М е среда на отс.ВС,а т.G е медицентъра на [tex]\triangle[/tex]АВС .Нека т.К лежи на отс.АВ,като МК[tex]\bot[/tex]АВ.
Точките P и Q лежат съответно на АВ и АС,като GP[tex]\bot[/tex]AB и GQ[tex]\bot[/tex]AC .Нека т.N е среда на отс. AG.
Точките Т и Е лежат съответно на отс.АВ и АС,като NT[tex]\bot[/tex]AB ,NE[tex]\bot[/tex]AC.
Да отбележим GP=x , GQ=2x .
EN се явява средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]AGQ [tex]\Rightarrow[/tex] EN=[tex]\frac{2x}{2}[/tex]=x
GQ се явява средна отсечка в трапеца ENMC [tex]\Rightarrow[/tex] 2x=[tex]\frac{x+MC}{2}[/tex] ; MC=3x
Но ВМ=МС т.е. ВМ=3х (1)
NT се явява средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]APG [tex]\Rightarrow[/tex] NT=[tex]\frac{x}{2}[/tex]
GP се явява средна отсечка в трапеца TKMN [tex]\Rightarrow[/tex] х=[tex]\frac{\frac{х}{2}+МК}{2}[/tex] ; МК=[tex]\frac{3х}{2}[/tex] (2)
Разглеждаме правоъг.[tex]\triangle[/tex]КВМ .Щом катетът МК=[tex]\frac{3х}{2}[/tex] ,а хипотенузата ВМ=3х ,то
МК лежи срещу [tex]\angle[/tex]30[tex]^\circ[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]КВМ=[tex]\angle[/tex]АВС=30[tex]^\circ[/tex] .
Тогава [tex]\angle[/tex]САВ=60[tex]^\circ[/tex] .