Геометрични фигури

[Гост]

1. В ∆АВС(АС=ВС),<АСВ=120° и АС=8√3 см. Разстоянието на описаната около триъгълника окръжност до страната АВ в см е...
2. В трапеца АВСД(АВ||СД), М е среда на АД, АВ=18 см, СД=6 см и G-медицентър на ∆ВСМ. Намерете дължината на МG
3. Върху окръжност с център О и диаметър АВ са взети точки Д и С, така че дъгите АД, ДС и СВ се отнасят тъй както 2 към 3 към 4. Намерете ъглите на четириъгълника АВСД

[S.B.]

1. В ∆АВС(АС=ВС),<АСВ=120° и АС=8√3 см. Разстоянието на описаната около триъгълника окръжност до страната АВ в см е...

Преполагам,че се търси разстоянието от центъра на описаната окръжност до страната $AB$
[tex]\angle ACB[/tex] - вписан , [tex]\angle AOB[/tex] - централен
[tex]\angle ACB = \frac{д.AB}{2} = 120^\circ \Rightarrow д.AB = 240^\circ \Rightarrow д.ACB = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ \Rightarrow \angle AOB = 120^\circ[/tex]
$\triangle AOB$ е равнобедрен $ AO = BO = R , OH \bot AB \Rightarrow OH$ е височина ,медиана и ъглополовяща
От $\triangle BOH \rightarrow \angle OBH = 30^\circ \Rightarrow OH = \frac{OB}{2}$
Ако $OH = x \Rightarrow OB = 2x$
И тъй като Питгорова теорема се изучава вече в 6 клас , прилагам я за $\triangle BOH$
$OB^{2} = OH^{2} + BH^{2} \Leftrightarrow 4x^{2} = (4\sqrt{3})^{2} + x^{2} \Leftrightarrow 3x^{2} = 48 \Leftrightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm2$
$$OH = 2$$

[S.B.]

Без заглавие (12).png (201.2 KiB) Прегледано 260 пъти

2. В трапеца АВСД(АВ||СД), М е среда на АД, АВ=18 см, СД=6 см и G-медицентър на ∆ВСМ. Намерете дължината на МG

Ако [tex]MN[/tex] е медиана в $\triangle BMC \rightarrow N$ е среда на $BC$ ;
От $M$ среда на $AD$ и $N$ среда на $BC$ $\rightarrow MN$ е средна отсечка $\Rightarrow MN = \frac{AB + CD}{2} = \frac{18 + 6}{2} = 12$
Щом т.$G$ е медицентър , то $MG = \frac{2}{3}MN = \frac{2}{3}.12$
$$MG = 8$$

[S.B.]

Без заглавие (13).png (254.38 KiB) Прегледано 258 пъти

3. Върху окръжност с център О и диаметър АВ са взети точки Д и С, така че дъгите АД, ДС и СВ се отнасят тъй както 2 към 3 към 4. Намерете ъглите на четириъгълника АВСД

[tex]д.AC +д.CD + д.DB = 180^\circ \Leftrightarrow 2x + 3x + 4x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ \Rightarrow д.AC = 40^\circ , д.CD = 60^\circ ,д.DB = 80^\circ[/tex]
За четириъгълника $ABCD \rightarrow $
$\angle A = \frac{д.CB}{2} = 70^\circ , \angle B = \frac{д.AD}{2} = 50^\circ$
$\angle C = \frac{д.AB + д.BD}{2} = 130^\circ , \angle D = \frac{д.AC + д.AB}{2} = 110^\circ$