Геометрична задача

[Гост]

В равнобедрен триъгълник ABC(AC=BC) с ъгъл C=100 градуса са избрани вътрешни точки M и N така,че ъгъл ACM= ъгъл CAM= ъгъл BCN= ъгъл CBN= 20градуса. Намерете ъгъл ANC.

[KOPMOPAH]

Намерете ъгъл ANC.png (7.95 KiB) Прегледано 275 пъти

$70^\circ$

Скрит текст: покажи

... ако се водим по модата, която се налага напоследък - да се пишат отговори без никакви обяснения
________________________________________________________________________________________________

Всъщност идеята е, че $\triangle AMC$ и $\triangle BNC$ са равнобедрени и еднакви по $II^{ри}$ признак, откъдето: $$AM=MC=CN=BN$$
Триъгълникът $\triangle CMN$ е:
1) равнобедрен;
2) с ъгъл при върха C $100^\circ-2.20^\circ=60^\circ$
значи е равностранен и $$MN=AM=MC=CN=BN$$Но тогава и триъгълник $\triangle AMN$ също е равнобедрен.

Намираме ъглите $$\measuredangle AMC = 180^\circ-2.20^\circ=140^\circ$$ $$\measuredangle AMN = 360^\circ-(140^\circ+60^\circ)=160^\circ$$ $$\measuredangle MAN = \measuredangle MNA=\frac12 (180^\circ-160^\circ)=10^\circ$$ Окончателно, за търсения ъгъл е в сила равенството:$$\measuredangle ANC = \measuredangle ANM+\measuredangle MNC=10^\circ+60^\circ=\red{70^\circ}$$