Задача със средна отсечка

[Гост]

Диагонали на изпъкнал четириъгълник са 2 и 7. Намерете лицето му, ако точките, свързващи средите на срещуположните му страни, са равни.

[KOPMOPAH]

Четириъгълник 4х7.png (16.58 KiB) Прегледано 350 пъти

Вероятно не точките, а отсечките, свързващи средите на срещуположните му страни, са равни.

Да разгледаме $\triangle ABC$. След като $E$ е среда на $AB$, а $F$ - на $BC$, значи $EF$ е средна отсечка за $\triangle ABC$, откъдето следва $EF\,||AC$, $EF=\frac 12 AC$.
По същата логика $GH\,||AC$, $GH=\frac 12 AC$
Значи четириъгълникът $EFGH$ е успоредник, но успоредник с равни диагонали (както е по условие) е правоъгълник. Излиза, че четириъгълникът $EFGH$ е правоъгълник, на чертежа е отбелязан само единият му прав ъгъл.

Излиза, че диагоналите на четириъгълника $ABCD$ са перпендикулярни (доколкото са успоредни на страните на правоъгълника), а лицето на четириъгълник с перпендикулярни диагонали е равно на половината от произведението им.

Отговор $S=\frac 12 .2.7=7$